介值定理

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在数学分析中，介值定理（英語：intermediate value theorem，又稱中间值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性：

假設 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 為一連續函數。若一實數 $u$ 滿足 $(f(a)-u)(f(b)-u)\leq 0$，則存在一實數 $c\in [a,b]$ 使得 $f(c)=u$。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

定理

介值定理圖解

定理敘述

中間值定理 —  設 $a<b$，且 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ 為一連續函數。則下列敘述成立：

• 對任意滿足 $(f(a)-u)(f(b)-u)<0$ 的實數 $u$，皆存在一實數 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$。
• $f$ 的值域為一閉區間。

证明

先证明第一种情况 $f(a)<u<f(b)$；第二种情况也类似。${\displaystyle }$

设 $S$ 为所有滿足 $f(x)\leq u$ 的 $x\in [a,b]$ 所構成的集合。由 $a\in S$ 可知 $S$ 非空。由於 $S$ 具有上界 $b$，故由实数的完备性知 $S$ 有最小上界 $c=\sup S$。我们以反证法证明 $f(c)=u$。

• 首先假设 $f(c)>u$。由於 $f$ 连续，我們能找到正实数 $\delta$ 使得 $\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$ 對所有 $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ 均成立。由於 $c=\sup S$，故存在滿足 $c-\delta <y\leq c$ 的 $y\in S$；此時 ${\mathopen {|}}y-c{\mathclose {|}}<\delta$，故 $f(y)-f(c)>-(f(c)-u)$，即 $f(y)>u$，與 $y\in S$ 矛盾。故原假設 $f(c)>u$ 不成立。
• 接著假设 $f(c)<u$。由於 $f$ 连续，我們能找到正实数 $\delta$ 使得 $\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$ 對所有 $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ 均成立。設 $y=c+\delta /2$；此時 $f(y)-f(c)<u-f(c)$，即 $f(y)<u$，故 $y\in S$。這會導致 $c$ 不是 $S$ 的上界，矛盾。故原假設 $f(c)<u$ 不成立。

因此$f(c)=u$。

與實數完備性的關係

此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數$f(x)=x^{2}-2$滿足$f(0)=-2,f(2)=2$，但不存在滿足$f(x)=0$的有理數$x$。

零点定理（波尔查诺定理）

零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则必存在$\xi \in (a,b)$使$f(\xi )=0$成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。

现实世界中的意义

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见

• 中值定理
• 极值定理
• 達布定理

外部链接

• cut-the-knot上的介值定理-波尔查诺定理（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Intermediate Value Theorem. MathWorld.