卡諾定理 (熱力學)

卡諾定理是熱力學中的一個定理，說明熱機的最大熱效率只和其高溫熱源和低溫熱源的溫度有關。此定理以尼古拉·卡諾為名。

根據卡諾定理，則

• 所有不可逆的熱機，其熱效率會比使用相同高溫和低溫熱源的卡諾熱機要低。
• 所有可逆的熱機，其熱效率會等於相同高溫和低溫熱源的卡諾熱機。

依卡諾定理可得到一熱機的最大熱效率$\eta$（也稱作卡諾效率）為

$\eta _{\text{max}}=\eta _{\text{Carnot}}=1-{\frac {T_{C}}{T_{H}}}$

其中

• T_C為低溫熱源的絕對溫度
• T_H為高溫熱源的絕對溫度

上式的熱效率是指熱機產生的功和高溫熱源提供能量的比值。

上述定律其實是熱力學第二定律的結果。不過當初在推導此定律時是以熱質說為基礎，且以此定律為基礎建立熱力學第二定律。

證明

證明卡諾定理

此定理可用以下的方式，針對不可逆熱機及可逆熱機的情形進行證明

不可逆熱機

假設一不可逆熱機，其熱源為$T_{1}$及$T_{2}$，其熱效率為$\eta$，此熱機和一個效率為$\eta \prime$的逆卡諾熱機，依右圖的方式組合成一個熱力學循環，不可逆熱機產生的功為逆卡諾熱機的工作來源。

若$\eta =\eta \prime$，則此熱力學循環對系統沒有任何影響，與不可逆性矛盾，因此不成立。

若$\eta >\eta \prime$，則此熱力學循環可由低溫熱源$T_{2}$取出

$\Delta Q=\eta Q\left({\frac {1}{\eta \prime }}-1\right)-(1-\eta )Q=Q\left({\frac {\eta }{\eta \prime }}-1\right)>0$

的能量，將此能量釋放到高溫熱源$T_{1}$，且不引起其他變化，違反熱力學第二定律，也無法成立。

因此結論為$\eta <\eta \prime$，不可逆熱機的效率$\eta$較卡諾熱機的效率$\eta \prime$低。

可逆熱機

對於可逆熱機的例子，可依類似的方式得到$\eta \leqslant \eta \prime$的結果。

若用待測的可逆熱機當成逆熱機，和一般的卡諾熱機形成一個熱力學循環，也可得到$\eta \prime \leqslant \eta$的結果。

由於上述二式需同時成立，可得以下的式子

$\eta =\eta \prime$

應用在燃料電池上

有關卡諾定理是否能應用在燃料電池，至今科學家還沒有達成共識。凱斯西儲大學的教授認為「由於燃料電池中的電化學反應不涉及將熱能轉換為機械能，因此不受卡諾定理的限制」。不過K. T. Jacob及Saurabh Jain則認為「傳統的觀點認為燃料電池不受卡諾定理的限制，不過最近幾篇論文都認為熱力學第二定律不但限制熱機的效率，也以同樣方式限制燃料電池的效率」。