双线性映射

在数学中，一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。

定义

设$V$, $W$和$X$是在同一个基础域$F$上的三个向量空间。双线性映射是函数

$B:V\times W\rightarrow X$

使得对于任何$W$中$w$，映射

$v\mapsto B\left(v,w\right)$

是从$V$到$X$的线性映射，并且对于任何$V$中的$v$，映射

$w\mapsto B(v,w)$

是从$W$到$X$的线性映射。

换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果就是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果$V=W$并且有$B\left(v,w\right)=B\left(w,v\right)$对于所有$V$中的$v,w$，则我们称$B$是对称的。

当这里的$X$是$F$的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。

如果使用在交换环$R$上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到$n$元函数，这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环$R$和右模$M_{R}$与左模$_{R}N$的情况，我们可以定义双线性映射$B:M\times N\rightarrow T$，这里的$T$是阿贝尔环，使得对于任何$N$中的$n,m\mapsto B\left(m,n\right)$是群同态，而对于任何$M$中的$m,n\mapsto B\left(m,n\right)$是群同态，并还满足

$B\left(mt,n\right)=B\left(m,tn\right)$

对于所有的$M$中的$m$，$N$中$n$和$R$中的$t$。

定义$V$, $W$,$X$是有限维的，则$L\left(V,W;X\right)$也是有限维的。对于$X=F$就是双线性形式，这个空间的维度是$\dim V\times \dim W$（尽管线性形式的空间$L\left(V\times W;K\right)$的维度是$\dim V+\dim W$）。看得出来，选择$V$和$W$的基；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵$B(e_{i},f_{j})$，反之亦然。现在，如果$X$是更高维的空间，我们明显的有$\dim L\left(V,W;X\right)=\dim V\times \dim W\times \dim X$。

例子

• 矩阵乘法是双线性映射$M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)$。
• 如果在实数$\mathbb {R}$上的向量空间$V$承载了内积，则内积是双线性映射$V\times V\rightarrow \mathbb {R}$。
• 一般的说，对于在域$F$上的向量空间$V$，在$V$上的双线性形式同于双线性映射$V\times V\rightarrow F$。
• 如果$V$是有对偶空间$V^{*}$的向量空间，则应用算子$b(f,v)=f(v)$是从$V^{*}\times V$到基础域的双线性映射。
• 设$V$和$W$是在同一个基础域$F$上的向量空间。如果$f$是$V^{*}$的成员而$g$是$W^{*}$的成员，则$b(v,w)=f(v)g(w)$定义双线性映射$V\times W\rightarrow F$。
• 在$\mathbb {R} ^{3}$中叉积是双线性映射$\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$。
• 设$B:V\times W\rightarrow X$是双线性映射，而$L:U\rightarrow W$是线性算子，则$(v,u)\rightarrow B(v,Lu)$是在$V\times U$上的双线性映射。
• 零映射，定义于$B(v,w)=o$对于所有$V\times W$中的$(v,w)$，是从$V\times W$到$X$的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上，如果$(v,w)\in V\times W$，则$B(v,w)=B(v,o)+B(o,w)=o+o$。

参见

• 张量积
• 多线性映射
• 半双线性形式
• 双线性滤波