施特拉森演算法

施特拉森演算法（英語：Strassen algorithm）是一個計算矩陣乘法的演算法，時間複雜度為$O(n^{\log _{2}7})=O(n^{2.807})$。

簡介

矩陣乘法演算法的演進。

施特拉森演算法在1969年由沃爾克·施特拉森所提出，是第一個時間複雜度低於$O(n^{3})$的矩陣乘法演算法。由於演算法簡單理解，且為第一個被提出來的特性，常被演算法教材拿來當作主定理（英語：Master theorem）計算時間複雜度的例子。

另外，因為施特拉森演算法證明了矩陣乘法存在時間複雜度低於$O(n^{3})$的演算法，使得更多學者投入研究，尋找更快的演算法。

算法

定義

設$A$、$B$為域$F$上的方矩陣。求兩者的積$C$。一般矩陣可以填0的方法計算令它成為$2^{n}\times 2^{n}$矩陣。

$\mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B} \qquad \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} \in F^{2^{n}\times 2^{n}}$

計算

將A, B, C分成相等大小的方塊矩陣：

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1,1}&\mathbf {A} _{1,2}\\\mathbf {A} _{2,1}&\mathbf {A} _{2,2}\end{bmatrix}}{\mbox{ , }}\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1,1}&\mathbf {B} _{1,2}\\\mathbf {B} _{2,1}&\mathbf {B} _{2,2}\end{bmatrix}}{\mbox{ , }}\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1,1}&\mathbf {C} _{1,2}\\\mathbf {C} _{2,1}&\mathbf {C} _{2,2}\end{bmatrix}}$

即

$\mathbf {A} _{i,j},\mathbf {B} _{i,j},\mathbf {C} _{i,j}\in F^{2^{n-1}\times 2^{n-1}}$

於是

$\mathbf {C} _{1,1}=\mathbf {A} _{1,1}\mathbf {B} _{1,1}+\mathbf {A} _{1,2}\mathbf {B} _{2,1}$

$\mathbf {C} _{1,2}=\mathbf {A} _{1,1}\mathbf {B} _{1,2}+\mathbf {A} _{1,2}\mathbf {B} _{2,2}$

$\mathbf {C} _{2,1}=\mathbf {A} _{2,1}\mathbf {B} _{1,1}+\mathbf {A} _{2,2}\mathbf {B} _{2,1}$

$\mathbf {C} _{2,2}=\mathbf {A} _{2,1}\mathbf {B} _{1,2}+\mathbf {A} _{2,2}\mathbf {B} _{2,2}$

引入新矩陣

$\mathbf {M} _{1}:=(\mathbf {A} _{1,1}+\mathbf {A} _{2,2})(\mathbf {B} _{1,1}+\mathbf {B} _{2,2})$

$\mathbf {M} _{2}:=(\mathbf {A} _{2,1}+\mathbf {A} _{2,2})\mathbf {B} _{1,1}$

$\mathbf {M} _{3}:=\mathbf {A} _{1,1}(\mathbf {B} _{1,2}-\mathbf {B} _{2,2})$

$\mathbf {M} _{4}:=\mathbf {A} _{2,2}(\mathbf {B} _{2,1}-\mathbf {B} _{1,1})$

$\mathbf {M} _{5}:=(\mathbf {A} _{1,1}+\mathbf {A} _{1,2})\mathbf {B} _{2,2}$

$\mathbf {M} _{6}:=(\mathbf {A} _{2,1}-\mathbf {A} _{1,1})(\mathbf {B} _{1,1}+\mathbf {B} _{1,2})$

$\mathbf {M} _{7}:=(\mathbf {A} _{1,2}-\mathbf {A} _{2,2})(\mathbf {B} _{2,1}+\mathbf {B} _{2,2})$

可得：

$\mathbf {C} _{1,1}=\mathbf {M} _{1}+\mathbf {M} _{4}-\mathbf {M} _{5}+\mathbf {M} _{7}$

$\mathbf {C} _{1,2}=\mathbf {M} _{3}+\mathbf {M} _{5}$

$\mathbf {C} _{2,1}=\mathbf {M} _{2}+\mathbf {M} _{4}$

$\mathbf {C} _{2,2}=\mathbf {M} _{1}-\mathbf {M} _{2}+\mathbf {M} _{3}+\mathbf {M} _{6}$

其中$M_{i,j}$的計算也是使用施特拉森演算法求得。

評論

一般矩陣乘法的時間複雜度為$O(n^{\log _{2}8})=O(n^{3})$，施特拉森演算法因為只有每次的分治法（英語：Divide and conquer algorithm）只有七個矩陣乘法運算，所以依照主定理（英語：Master theorem）可以得出時間複雜度為$O(n^{\log _{2}7})=O(n^{2.807})$。但Strassen演算法的數值穩定性較差。

現時時間複雜度最低的矩陣乘法演算法是Coppersmith-Winograd方法的一种扩展方法，其算法复杂度为$O(n^{2.3727}$)。

相關連結

• 矩陣乘法