實閉域

在數學中，實閉域或實封閉域是一類有序域，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。以下將給出幾種等價的定義。

定義

形式實域

假設所論之域的特徵數皆為零。若在一個域$F$中，$-1$無法寫成平方和（表法：$-1\neq \sum F^{2}$），則稱$F$是形式實的。

每個有序域都是形式實域；形式實的定義本身不涉及序結構，但藉由實閉包的存在性可證明每個形式實域皆帶序結構。

實封閉域

一個實封閉域$F$若滿足下列等價條件，則稱之實封閉域：

• $F$上存在一個序結構，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。
• $F$上存在一個序結構，使之滿足中間值定理。
• 對任意$a\in F$，或者$a\in F^{2}$或者$-a\in F^{2}$；且任何奇數次多項式都有根。
• $F$非代數封閉，而$F({\sqrt {-1}})$代數封閉。
• 若$F'\supset F$，$F'$是形式實的，則$F'=F$。

我們可以純以代數性質定義實封閉域，並由$a>0\Leftrightarrow a\in F^{2},a\neq 0$得到唯一的序結構。

實閉包

對任何形式實域$F$，都存在代數擴張$R\subset F$，使得$R$是實封閉的。我們稱$R$是$F$的一個實閉包。實閉包並不唯一。

若在$F$上固定一個序結構，並要求$R$的序結構與之相容；則此時實閉包$R$存在並唯一，且$\mathrm {Aut} (R/F)=\{\mathrm {id} _{R}\}$。

例子

• 實數域$\mathbb {R}$
• $\mathbb {R} \cap \mathbb {Q} ^{\mathrm {alg} }$；它是$\mathbb {Q}$的實閉包。
• 可計算數
• Puiseux級數

模型論觀點

實封閉域的研究首先由數學家展開，隨後引起了邏輯學家的興趣。採用形式語言${\mathcal {L}}:=\langle +,-,\cdot ,>\rangle$，設$\mathrm {RCF}$為實封閉域（帶序結構）的${\mathcal {L}}$-一階理論，塔斯基證明了$\mathrm {RCF}$上有量詞消去；因此任兩個$\mathrm {RCF}$的模型都是初等等價的。一方面，我們可運用$\mathbb {R}$上的特有工具（微積分、拓撲等等）證明一般實封閉域上的一階句子；另一方面，則可透過適當的域擴張解決$\mathbb {R}$上的問題，後一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 對希爾伯特第十七問題的證明。

如果改採形式語言${\mathcal {L}}^{-}:=\langle +,-,\cdot \rangle$，並取實封閉域的代數定義$\mathrm {RCF} ^{-}$，此時則無法消去量詞（在$\mathrm {RCF} ^{-}$中考慮公式$\exists y\;y=x^{2}$）。

設$R$是實封閉域，換言之$R\models _{\mathcal {L}}\mathrm {RCF}$，根據$\mathrm {RCF}$上的量詞消去，$R$上的可定義集只是有限多個線段與孤立點的聯集。此性質稱作O-極小性，它較量詞消去為弱，卻是研究$R^{n}$上可定義集的幾何構造之關鍵。

量詞消去也蘊含$\mathrm {RCF}$的可判定性，然而塔斯基給出的演算法其複雜度過高，並不實用。

若承認廣義連續統假設，則可進一步以超積描述實封閉域的性狀。

文獻

• Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
• H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
• Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 (Postscript 版本 （页面存档备份，存于互联网档案馆）); 亦見 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
• Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 (在線版本)
• Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943