邻域系

定义

$X$的映射${\mathfrak {U}}:X\to P(P(X))$（$P(P(X))$指$X$的幂集的幂集）。这样${\mathfrak {U}}$将$X$的每个点$x$映射至$X$的子集族${\mathfrak {U}}(x)$。${\mathfrak {U}}(x)$称为$x$的邻域系（或称邻域系统，${\mathfrak {U}}(x)$的元素称为$x$的邻域），当且仅当对任意的$x\in X$，${\mathfrak {U}}(x)$满足如下邻域公理：

• U₁：若$U\in {\mathfrak {U}}(x)$，则$x\in U$。
• U₂：若$U,V\in {\mathfrak {U}}(x)$，则$U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)$。（邻域系对邻域的有限交封闭）。
• U₃：若$U\in {\mathfrak {U}}(x)$，$U\subseteq V\subseteq X$，则$V\in {\mathfrak {U}}(x)$。
• U₄：若$U\in {\mathfrak {U}}(x)$，则存在$V\in {\mathfrak {U}}(x)$，使$V\subseteq U$且对所有$y\in V$，有$V\in {\mathfrak {U}}(y)$。

从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念：

• 从邻域定义开集：$X$的子集$O$是开集，当且仅当对任意$x\in O$，有$O\in {\mathfrak {U}}(x)$。（$O$是其中每个点的邻域）。
• 从邻域定义开核：$X$的子集$A$的开核$A^{\circ }=\{x|\exists U\in {\mathfrak {U}}(x),U\subseteq A\}$。
• 从邻域定义闭包：$X$的子集$A$的闭包${\overline {A}}=\{x|\forall U\in {\mathfrak {U}}(x),U\cap A\neq \varnothing \}$。

参照滤子的定义。给定点x，其邻域系${\mathfrak {U}}(x)$恰构成了一个滤子，称为邻域滤子。

邻域基

点$x$的邻域基或局部基${\mathcal {B}}(x)$，就是邻域滤子${\mathfrak {U}}(x)$的滤子基。它是${\mathfrak {U}}(x)$的子集，满足：每个x的邻域 $U$ 都存在$B\in {\mathcal {B}}(x)$，使$B\subseteq U$。

（${\mathcal {B}}(x)\subseteq {\mathfrak {U}}(x)$，使$\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)$，$\exists B\in {\mathcal {B}}(x):B\subseteq U$）

反之，给出邻域基${\mathcal {B}}(x)$，可以反推出相应的邻域滤子：${\mathfrak {U}}(x)=\{U|\exists B\in {\mathcal {B}}(x),B\subseteq U\subseteq X\}$。

例子

• 一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。

• 若拓扑空间X是不可分拓扑，则任何点 x 的邻域系是整个空间${\mathcal {V}}(x)=\{X\}$

• 在度量空间中，对于任何点 x，围绕 x 有半径 1/n 的开球序列形成可数邻域基 ${\mathcal {B}}(x)=\{B_{1/n}(x);n\in \mathbb {N} ^{*}\}$。这意味着所有度量空间都是第一可数的。

• 在半赋范空间中，就是带有由半范数引发的拓扑的向量空间，所有邻域系统可以通过点 0 的邻域系统的平移来构造，

${\mathcal {V}}(x)={\mathcal {V}}(0)+x$。

这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说，只要拓扑是通过平移不变度量或伪度量定义的以上结论就是真的。

• 非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子。

• 拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X 的基。

参见

• 邻域
• 基 (拓扑学)
• 局部凸拓扑向量空间
• 滤子 (数学)