有序交換群

定義

有序交換群係指一對 $(\Gamma ,>)$，其中 $\Gamma$ 為交換群，$>$ 為其上的一個二元關係，且滿足如下條件：

• 若 $a<0$，則 $-a>0$。
• 若 $a,b>0$，則 $a+b>0$。

另一種等價的描述是：給定一個子集 $\Gamma _{+}\subset \Gamma$，使得 $\Gamma _{+}$ 對加法封閉，且 $\Gamma =\Gamma _{+}\cup \{0\}\cup -\Gamma _{+}$。

若對於每個 $x\in \Gamma$ 都存在 $n\in \mathbb {Z}$ 使得 $n\cdot 1>x$，則稱 $(\Gamma ,>)$ 滿足阿基米德性質。

範例與基本性質

• 由上述公理可推出：對於每個 $x\in \Gamma ,x\neq 0$ 都有 $x^{2}>0$。
• $\mathbb {Z} ,\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{*}$ 都是有序交換群且滿足阿基米德性質。
• 若 $(\Gamma ,>_{1}),(\Gamma _{2},>_{2})$ 為有序交換群，則 $\Gamma _{1}\times \Gamma _{2}$ 配合其字典序也構成一個有序交換群。
• $(\Gamma ,>)$ 滿足阿基米德性質的充要條件是它可以嵌入 $(\mathbb {R} ,+)$。

參見

• 序理論
• 環