林德曼-魏尔斯特拉斯定理

林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果$a_{1},\ldots ,a_{n}$ 是代数数，在有理数 ℚ 内是线性独立的，那么$e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$在 ℚ 内是代数独立的；也就是说，扩张域$\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})$在 ℚ 内具有超越次数 n。

一个等价的表述是：如果$a_{1},\ldots ,a_{n}$是不同的代数数，那么指数$e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$在代数数范围内是线性独立的。

这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数$\alpha$，$e^{\alpha }$都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。

这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。

e和π的超越性

e和π的超越性是这个定理的直接推论。

假设$\alpha$是一个非零的代数数，那么$\left\{\alpha \right\}$在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，$\left\{e^{\alpha }\right\}$是一个代数独立的集合，也就是说，$e^{\alpha }$是超越数。特别地，$e^{1}=e$是超越数^。

另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果$\alpha$是一个非零的代数数，那么$\left\{0,\alpha \right\}$就是不同的代数数的集合，因此集合$\{e^{0},e^{\alpha }\}=\{1,e^{\alpha }\}$在代数数范围内是线性独立的，特别地，$e^{\alpha }$不能是代数数，因此一定是超越数。

现在，我们来证明$\pi$是超越数。如果π是代数数，$2\pi i$也是代数数（因为$2i$是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理， $e^{2\pi i}$（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下，可以证明如果$\alpha$是一个非零的代数数，那么$\sin(\alpha )$、$\cos(\alpha )$、$\tan(\alpha )$和它们的双曲函数也是超越数。

$p$进数猜想

$p$进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设$p$是素数，$e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$是$p$进数，它们都是代数数，且在ℚ内线性独立，使得对于所有的$i$，都有$|\alpha _{i}|_{p}<1/p$。那么p进指数$e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$在ℚ内是代数独立的。

参见

• 证明e是无理数
• 证明π是无理数

参考文献

• Baker, Alan, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 052139791X 

外部链接

• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理的证明（HTML）