立方体堆砌

立方体堆砌
立方蜂巢體
立方体堆砌 ; 立方蜂巢體
	線架圖
類型	正堆砌
家族	立方形堆砌
維度	3
對偶多胞形	立方体堆砌（自身對偶）
類比	正方形鑲嵌
識別
名稱	立方体堆砌
參考索引	J11,15, A1; W1, G22
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	chon
數學表示法
考克斯特符號; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
考克斯特記號; （英语：Coxeter notation）	[4,3,4]
纖維流形記號	4−:2
施萊夫利符號	{4,3,4}
性質
胞	{4,3} ; 棱处相交胞：4×{4,3}; 顶点处相交胞：8×{4,3}
面	{4} ; 棱处相交面：4×{4}; 顶点处相交面：12×{4}
邊	∞; 顶点处相交棱：6
歐拉示性數	0
組成與佈局
顶点图	; （正八面体）
對稱性
對稱群
空間群	Pm3m
考克斯特群	, [4,3,4]
特性
	顶点正（英语：vertex-transitive）
	查; 论; 编;

立方体堆砌（Cubic Honeycomb）^[2]是三维空间内唯一的正密铺，也是28个半正密铺之一，由立方体堆砌而成，其縮寫為chon^[3]。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。

立方形家族里的多胞形二胞角总是90°，因此总能独自完成超平面密铺，这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”，具有 ${\tilde {C}}_{n}$ 对称性，有施莱夫利符号形式{4,3,……,3,4}。

性質

立方体堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。

頂點坐標

立方体堆砌頂點的笛卡爾坐標為：

(i, j, k)

對所有的i,j,k皆為立方體邊長的整數倍

因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

由於立方体堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方体堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而i,j,k值則為相鄰立方体幾何中心距離的整數倍。

正交投影

正交投影
對稱性	p6m (*632)	p4m (*442)	pmm (*2222)
實體圖
框線圖

自然界中的立方体堆砌

作为少有的三维半正堆砌，自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构，在固体物理学中被称为“立方晶系”，许多固体化合物，如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质，如铝、钒、锂等，都具有这种晶系的结构。

簡單立方晶格

簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：

晶系	單斜三斜	正交	四方	三方	立方
胞單位晶格	平行六面體	長方體		三方偏方面體	正方體
點群阶旋轉對稱群	[ ], (*) Order 2 [ ]⁺, (1)	[2,2], (*222) Order 8 [2,2]⁺, (222)	[4,2], (*422) Order 16 [4,2]⁺, (422)	[3], (*33) Order 6 [3]⁺, (33)	[4,3], (*432) Order 48 [4,3]⁺, (432)
圖示
空間群旋轉對稱群	Pm (6) P1 (1)	Pmmm (47) P222 (16)	P4/mmm (123) P422 (89)	R3m (160) R3 (146)	Pm3m (221) P432 (207)
考克斯特式	-	[∞]_a×[∞]_b×[∞]_c	[4,4]_a×[∞]_c	-	[4,3,4]_a
考克斯特符號（英语：Coxeter diagram）	-			-

表面著色

作为立方形堆砌家族其中一员，立方体堆砌有 ${\tilde {C}}_{4}$ 对称性，有施莱夫利符号{4,3,4}，考克斯特符号，除此之外，作为一个空间堆砌，它有Pm3m空间平移对称性。

而然，立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌，它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表：

名称	考克斯特标记空间群	施莱夫利符号	颜色组合（字母表示）
立方体堆砌	[4,3,4] Pm3m	{4,3,4}	1: aaaa/aaaa
三次截半半立方体堆砌	[4,3^1,1] Fm3m	{4,3^1,1}	2: abba/baab
截面立方体堆砌	[4,3,4] Pm3m	t_0,3{4,3,4}	4: abbc/bccd
截面立方体堆砌	[[4,3,4]] Pm3m (229)	t_0,3{4,3,4}	4: abbb/bbba
正四棱柱堆砌	[4,3,4,2,∞]	{4,4}×t{∞}	2: aaaa/bbbb
截棱正四棱柱堆砌	[4,3,4,2,∞]	t₁{4,4}×{∞}	2: abba/abba
无穷次无穷次无穷边形	[∞,2,∞,2,∞]	t{∞}×t{∞}×{∞}	4: abcd/abcd
无穷次无穷次无穷边形	[∞,2,∞,2,∞]	t{∞}×t{∞}×t{∞}	8: abcd/efgh

相關多面體和鑲嵌

立方体堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方体堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方体堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為{4,3,5}。

{p,3,4}
空間	S³	E³	H³（英语：雙曲空間）
來源	有限	仿射	緊湊	仿緊	非緊
施式	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}（英语：order-4 dodecahedral honeycomb）	{6,3,4}（英语：order-4 hexagonal tiling honeycomb）	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
圖像
胞	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

考克斯特群[4,3,4]、產生15個排列均勻的鑲嵌中，9個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

空間群	纖維流形	擴展對稱群	擴展标记	阶	蜂巢體（堆砌）
Pm3m (221)	4⁻:2	[4,3,4]		×1	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆
Fm3m (225)	2⁻:2	[1⁺,4,3,4] ↔ [4,3^1,1]	↔	Half	₇, ₁₁, ₁₂, ₁₃
I43m (217)	4^o:2	[[(4,3,4,2⁺)]]		Half × 2	₍₇₎,
Fd3m (227)	2⁺:2	[[1⁺,4,3,4,1⁺]] ↔ [[3^[4]]]	↔	Quarter × 2	₁₀,
Im3m (229)	8^o:2	[[4,3,4]]		×2	₍₁₎, ₈, ₉

考克斯特群[4,3^1,1], , 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中，其中4個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌。

空間群	纖維流形	擴展對稱群	擴展标记	阶	蜂巢體（堆砌）
Fm3m (225)	2⁻:2	[4,3^1,1] ↔ [4,3,4,1⁺]	↔	×1	₁, ₂, ₃, ₄
Fm3m (225)	2⁻:2	<[1⁺,4,3^1,1]> ↔ <[3^[4]]>	↔	×2	₍₁₎, ₍₃₎
Pm3m (221)	4⁻:2	<[4,3^1,1]>		×2	₅, ₆, ₇, ₍₆₎, ₉, ₁₀, ₁₁

立方體堆砌是 ${\tilde {A}}_{3}$ 考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌^[4]之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性：

空間群	纖維流形	方形對稱群	擴展對稱群	擴展标记	擴展阶	蜂巢體（堆砌）
F43m (216)	1^o:2	a1	[3^[4]]		×1	(None)
Fd3m (227)	2⁺:2	p2	[[3^[4]]]	↔	×2	₃
Fm3m (225)	2⁻:2	d2	<[3^[4]]> ↔ [4,3,3^1,1]	↔	×2	₁, ₂
Pm3m (221)	4⁻:2	d4	[2[3^[4]]] ↔ [4,3,4]	↔	×4	₄
Im3m (229)	8^o:2	r8	[4[3^[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	×8	₅, _(*)

参考

^ For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
^ Klitzing, Richard. chon. bendwavy.org. [2014-04-27].
^ [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）, A000029 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 6-1 cases, skipping one with zero marks

H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表）
Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)
A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
Klitzing, Richard. 3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o - chon - O1. bendwavy.org.
Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[Index_references_ref-2] For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).

[3] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)

[4] Klitzing, Richard. chon. bendwavy.org. [2014-04-27].

[5] [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）, A000029 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 6-1 cases, skipping one with zero marks

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[4]

查论编正鑲嵌
一維正密鋪	線段密鋪超線段密鋪（雙曲）
二維正鑲嵌	正三角形鑲嵌正方形鑲嵌正六邊形鑲嵌
三維正堆砌	立方体堆砌
四維正堆砌	超立方體堆砌正十六胞體堆砌正二十四胞體堆砌

性質