矩形函数

矩形函数

矩形函数的定义为，

$\mathrm {rect} (t)=\Pi (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

也可以将它定义为 $\mathrm {rect} (\pm 1/2)$ 的值为 0、1 或者未定义的值，另外也可以用 单位阶跃函数 $u(t)$ 来定义：

$\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=u\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-u\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)$

或者，

$\mathrm {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)-u\left(t-{\frac {1}{2}}\right)$

矩形函数归一化：

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1$

矩形函数的傅立叶变换，

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (f)$

或用用归一化Sinc函数表示为：

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)$,

我们可以将三角形函数定义为两个矩形函数的卷积：

$\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)$

如果将矩形函数当作一个概率分布函数，那么它的特征函数是，

$\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}}\,$

并且它的动差生成函数为，

$M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}}\,$

其中 $\mathrm {sinh} (t)$ 是双曲正弦函数。

参见

• 傅立叶变换
• 方波
• 三角形函数