比值审敛法

比值审敛法（Ratio test）是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法（D'Alembert's test）。

定理

比值审敛法判断流程表

设$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$为一级数，如果

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=\rho$，

• 当ρ<1时级数絕對收敛
• 当ρ>1时级数发散
• 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

证明

如果$\rho <1$，那么存在一个实数$r$以及一个正整数$N$，满足$\rho <r<1$，使得当$n>N$时，总有$|a_{n+1}|<r|a_{n}|$成立；因此在上述条件下，当$k$为正整数时有$|a_{n+k}|<r^{k}|a_{n}|$，于是根据无穷等比数列求和得出下式绝对收敛：

$\sum _{k=N+1}^{\infty }|a_{k}|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{N+k}|<|a_{N}|\sum _{k=1}^{\infty }r^{k}={\frac {|a_{N}|\cdot r}{1-r}}<\infty$

如果$\rho >1$，那么同样存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，总有$|a_{n+1}|>|a_{n}|$，求和项的极限不为零，于是级数发散。

而当$\rho =1$时，以$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$与$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$为例，结果同样为$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1$，但前者发散而后者收敛（后者收敛值为${\frac {\pi ^{2}}{6}}$），该例子可以用比较审敛法来审敛。

例子

收敛

考虑级数

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}$

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\cdot {\frac {1}{e}}\right|\\&=1\cdot {\frac {1}{e}}={\frac {1}{e}}<1.\end{aligned}}$

因此该级数收敛。

发散

考虑级数

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}$

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|$
	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|$
	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|$
	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right|$
	=$1\cdot e$
	=$\!\,e(>1)$

因此该级数发散。

不能确定

级数

$\sum _{n=1}^{\infty }1$

发散，但

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.$

而级数

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

收敛，但

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.$

参见

• 根值审敛法
• 比较审敛法
• 拉比判别法