魏尔施特拉斯逼近定理

斯通-魏尔施特拉斯逼近定理（Stone–Weierstrass theorem）有两个：

• 闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。
• 闭区间上周期为$2\pi$的连续函数可用三角函数级数一致逼近。

第一逼近定理可以推广至$\mathbb {R} ^{n}$上的有界闭集

证明

• 第一逼近定理与第二逼近定理可以互相推导。
• 第二逼近定理的证明：

设$f(t)$为周期为$2\pi$的连续函数，定义$f_{a}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}a^{\left|n\right|}e^{int}$为一三角级数。 首先证明$\left\{{e^{int}}\right\}_{n=-\infty }^{+\infty }$，为一个正交函数系：

$\langle e^{int},e^{imt}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(n-m)t}\,dt=0$

$\langle e^{int},e^{int}\rangle =||e^{int}||^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|e^{int}\right|^{2}\,dt=1$(因为$\left|e^{int}\right|=1$)。 故令$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{int}$，于是我们可以求出$c_{n}=\langle f(t),e^{int}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}f(t)e^{-int}\,dt$。 将$c_{n}$代入 $f_{a}(t)$ 的定义式中，有：

$f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}(\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a^{\left|n\right|}e^{in(t-s)})f(s)\,ds$。

下面对积分号中的和式S求和，令$w=ae^{i(t-s)}$，那么就有：$S=...+{\bar {w}}^{2}+{\bar {w}}+1+w+w^{2}+...$，分成正负两部分求和，可知:

$S=1+W+{\bar {W}}=1+2Re\{W\}={\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}$ 代回原积分，有$f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}f(s)\,ds$，这就是f(s)的泊松积分。其中$p_{a}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(\theta )+a^{2}}}$称为泊松核。故有：

$f_{a}(t)=\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)f(t-x)\,dx$

我们要检验的的是$\left|f_{a}(t)-f(t)\right|$在$a\to 1$时的情况，可以证明：

$\left|f_{a}(t)-f(t)\right|<\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)\left|f(t-x)-f(t)\right|\,dx$

由$f(t)$的一致连续性，可以证明，上式在$a\to 1$时，满足一致收敛的条件，故我们可以用$f_{a}(t)$来一致逼近$f(t)$。

参阅

• 傅里叶级数