三角形函數

提示：此條目的主題不是三角函數。

三角形函數

三角形函數定義為：

$\operatorname {tri} (t)=\Lambda (t)={\begin{cases}1-|t|\,,&|t|<1\\0\,,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

或者定義為兩個相同的單位矩形函數的卷積：

$\operatorname {tri} (t)=\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)$

在信號處理以及通信系統工程領域三角形函數是一個非常有用的理想信號表示，也是用於導出其它理想信號的原型信號。在脈衝編碼調製中作為數字信號傳輸的脈衝波形以及信號接收時作為匹配濾波器使用。另外，它也等同於叫作Bartlett window的三角形窗。

三角形函數的傅里葉變換，

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\textrm {tri}}(t)e^{-i\omega t}\,dt$	$={\sqrt {2\pi }}\left({\frac {{\textrm {sinc}}({\frac {\omega }{2\pi }})}{\sqrt {2\pi }}}\right)^{2}$
	$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)$

或用歸一化Sinc函數表示為：

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {tri} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt\ =\ \mathrm {sinc} ^{2}(f)$

這些結果都符合矩形函數的循傅里葉變換以及傅里葉變換的卷積特性。

參見

• 帳篷映射
• 矩形函數