不变因子

数学中，不变因子是λ-矩阵理论中的概念。不变因子定义为λ-矩阵的若尔当标准型中主对角线上出现的非零元素。对矩阵进行初等变换不会影响不变因子，所以两个等价的矩阵拥有相同的不变因子。在不变因子的概念上可以进一步定义初等因子的概念。

定义

λ-矩阵是以不定元λ的多项式作为元素的矩阵。例如：

A(\lambda )={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}}.

经过各种初等变换，一个λ-矩阵可以变换为矩阵的标准形。形如：

A(\lambda )\Rightarrow {\begin{bmatrix}d_{1}(\lambda )&\;&\;&\;&\;&\;&\;\\\;&d_{2}(\lambda )&\;&\;&\;&\;&\;\\\;&\;&\ddots &\;&\;&\;&\;\\\;&\;&\;&d_{r}(\lambda )&\;&\;&\;\\\;&\;&\;&\;&0&\;&\;\\\;&\;&\;&\;&\;&\ddots &\;\\\;&\;&\;&\;&\;&\;&0\end{bmatrix}}.

其中r 是矩阵的秩，并且每个多项式 $d_{i}(\lambda )$ 整除 $d_{i+1}(\lambda )$ 。

若 $1\leq k\leq \mathrm {R} (A(\lambda ))$ ，定义矩阵 $A(\lambda )$ 全部非零k阶子式的最大首一公因式为矩阵 $A(\lambda )$ 的k阶行列式因子，那么高阶的行列式因子必然是低阶的行列式因子的倍数。可以证明，初等变换不改变各阶行列式因子，所以等价的矩阵拥有相同的各阶行列式因子。然而，通过初等变换，总是可以将一个λ-矩阵变为只有对角线上有非零元素的标准形。所以，为了研究各阶的行列式因子，只需要看矩阵的标准形中所显示的信息就可以了。

在标准型中，可以看出，当 $k>r$ 时，行列式因子必然是0。当 $k\leq r$ 的时候，行列式因子是前k 行k 列构成的子式：

D_{k}(\lambda )=d_{1}(\lambda )d_{2}(\lambda )\cdots d_{k}(\lambda )

所以，反过来有：

d_{1}(\lambda )=D_{1}(\lambda )

d_{i}(\lambda )={\frac {D_{i}(\lambda )}{D_{i-1}(\lambda )}}\qquad (i\geq 2)

也就是说，λ-矩阵的标准形是唯一的。从而可以定义：

一个λ-矩阵的不变因子是其标准形中主对角线上的元素： $d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda )$ 。

初等因子

初等因子的定义建立在不变因子上。设某个矩阵的不变因子是： $d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda )$ ，那么将这些不变因子在复数域上分解成一次多项式的乘积：

d_{1}(\lambda )=(\lambda -x_{11})^{c_{11}}(\lambda -x_{12})^{c_{12}}\cdots (\lambda -x_{1m})^{c_{1m}}

d_{2}(\lambda )=(\lambda -x_{21})^{c_{21}}(\lambda -x_{22})^{c_{22}}\cdots (\lambda -x_{2m})^{c_{2m}}

\vdots

d_{r}(\lambda )=(\lambda -x_{r1})^{c_{r1}}(\lambda -x_{r2})^{c_{r2}}\cdots (\lambda -x_{rm})^{c_{rm}}

其中的 $c_{ij}$ 是一次多项式出现的次数。如果有某个 $c_{ij}>0$ ，那么对应的多项式 $(\lambda -x_{ij})^{c_{ij}}$ 就称为矩阵的初等因子。一个矩阵的所有初等因子合称为它的初等因子组。值得注意的是同一个初等因子可以重复出现在初等因子组中，重复的次数是它在以上表达式中出现的次数。

从一个矩阵的不变因子可以确定出这个矩阵的所有初等因子。反之，从一个矩阵的初等因子组也可以反推出矩阵的所有不变因子。具体做法是：将具有相同因子的初等因子根据幂次的大小从高到低排成一排，如果不够的话用1补足，这样会得到若干排多项式，每排的个数是r 个。接下来将每排最右边的多项式全部乘起来，就得到 $d_{1}$ ，将每排右数第二个多项式全部乘起来，就得到 $d_{2}$ ，等等。以此类推，就可以得到所有的不变因子。