全純域

定義中的集合

在數學的多複變函數論中，全純域是在下述意義下為極大的區域：在其上存在一個全純函數，使得不能延拓至更大的區域上。

正式而言，在n維複空間${\mathbb {C} }^{n}$中的開集$\Omega$稱為全純域，如果不存在非空開集$U\subset \Omega$和$V\subset {\mathbb {C} }^{n}$，其中$V$是連通的， $V\not \subset \Omega$，以及$U\subset \Omega \cap V$，使得對在$\Omega$上的每個全純函數$f$，存在一個在$V$上的全純函數$g$，在$U$上有$f=g$。

當n = 1時，每個開集都是全純域。但是，當n ≥ 2時，哈托格斯引理指出存在不是全純域的區域。

等價條件

對一個區域$\Omega$以下條件等價：

1. $\Omega$是全純域。
2. $\Omega$是全純凸的。
3. $\Omega$是偽凸的。
4. $\Omega$是萊維凸——對每個解析緊曲面列$S_{n}\subseteq \Omega$，使得$S_{n}\rightarrow S$及$\partial S_{n}\rightarrow \Gamma$對某集合$\Gamma$，我們有$S\subseteq \Omega$（$\partial \Omega$ 不能用一個解析曲面列「從裏面觸碰」。）
5. $\Omega$有局部萊維性質——對每個點$x\in \partial \Omega$，存在$x$的鄰域$U$，及在$U\cap \Omega$上全純的$f$，使得$f$不能延拓到$x$的任何鄰域上。

其中關係$1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5$是標準結果。（$1\Rightarrow 3$見岡引理。）主要的困難在證明$5\Rightarrow 1$，即從只是局部定義的不可延拓函數，構造一個不可延拓的全局全純函數。這個問題稱為萊維問題，以Eugenio Elia Levi命名。最先解出問題的是岡潔，之後是拉爾斯·霍爾曼德爾，用的方法包括泛函分析和偏微分方程（${\bar {\partial }}$問題的一個結果）。

性質

• 若$\Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}$是全純域，則其交$\Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}$也是全純域。
• 若$\Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots$是全純域的上升列，則其併$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}$也是全純域。（見本克－施泰因定理）
• 兩個全純域$\Omega _{1},\Omega _{2}$的積$\Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}$是全純域。
• 第一庫贊問題在全純域內可解；若再加上一些拓撲假設，第二庫贊問題也可解。

參見

• 本克－施泰因定理
• 萊維偽凸
• 施泰因流形

參考

• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992