密率

密率即 $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}355/113$ ，是圆周率比较精确的一个分数近似值。出自《隋书·律历志上》：“密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”^[1]由南北朝数学家祖冲之发现。

密率 $355 / 113$ 是π的一个渐近分数（参见连分数），是分母小于16604的所有既约分数中最接近π的一个（参见最佳逼近）。它的小数点后六位皆与π相同，与其仅有0.000009%的差距，即小于 $1 / 3748629$ 。更加精确的分数近似值，则是 $52163 / 16604$ ，也仍然只有小数点后六位数字相同。而要达到7位数字相同，则要 $86953 / 27678$ 才得以实现。若要8位數字相同，則要 $102928 / 32763$ 才成。^[2]

参考值：

{\begin{aligned}\pi &\approx 3.141\ 592\ 653\ 589\ 793\dots \\\\{\frac {355}{113}}&\approx 3.141\ 592\ 920\ 353\ 982\dots \\\\{\frac {52163}{16604}}&\approx 3.141\ 592\ 387\ 376\ 536\dots \\\\{\frac {86953}{27678}}&\approx 3.141\ 592\ 600\ 621\ 432\dots \\\\{\frac {102928}{32763}}&\approx 3.141\ 592\ 650\ 245\ 704\dots \end{aligned}}

注释

^ 《隋书·律历志上》：宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。
^ Fractional Approximations of Pi. [2023-11-13]. （原始内容存档于2023-09-30）.

参考文献

《隋书》
（英文）Jean claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, p281

[1] 《隋书·律历志上》：宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。

[2] Fractional Approximations of Pi. [2023-11-13]. （原始内容存档于2023-09-30）.

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