在概率论与统计学中,任意随机变量的对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果 是正态分布的随机变量,则 (指数函数)为对数正态分布;同样,如果 是对数正态分布,则 为正态分布。
如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积,则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率,它可以看作是每天收益率的乘积。
对于 ,对数正态分布的概率密度函数为
其中 与 分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是
方差为
给定期望值与方差,也可以用这个关系求 与
对数正态分布、几何平均数与几何標準差是相互关联的。在这种情况下,几何平均值等于 ,几何標準差等于 。
如果采样数据来自于对数正态分布,则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间,就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。
置信区间界
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对数空间
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几何
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3σ 下界
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2σ 下界
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1σ 下界
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1σ 上界
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2σ 上界
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3σ 上界
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其中几何平均数 ,几何標準差
原始矩为:
或者更为一般的矩
随机变量 在阈值 上的局部期望定义为
其中 是概率密度。对于对数正态概率密度,这个定义可以表示为
其中 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用,著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。
为了确定对数正态分布参数 与 的最大似然估计,我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看
其中用 表示对数正态分布的概率密度函数,用 — 表示正态分布。因此,用与正态分布同样的指数,我们可以得到对数最大似然函数:
由于第一项相对于 与 来说是常数,两个对数最大似然函数 与 在同样的 与 处有最大值。因此,根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程,我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计
- 如果 与 ,则 是正态分布。
- 如果 是有同样 参数、而 可能不同的统计独立对数正态分布变量 ,并且 ,则 也是对数正态分布变量:。
- 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
- Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues (页面存档备份,存于互联网档案馆), E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
- 对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
- Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 (页面存档备份,存于互联网档案馆) at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.