已知最大質數
已知最大質數(截至2024年10月[update])為2136,279,841 − 1,十進制時有41,024,320位數,由互联网梅森素数大搜索(GIMPS)的志願者盧克 · 杜蘭特(Luke Durant)於2024年發現。
質數,又名素数,是一個除1與自身之外沒有其他因數的正整数。欧几里得定理說明質數沒有上限,不少數學家與嗜好者故一直尋找大質數。
不少大質數為梅森素数,定義為2的冪減去1的正整數。截至2018年12月[update],首八個已知大質數皆為梅森素数[1]。近十七次最大質數紀錄皆為梅森素数[2][3]。所有梅森素数的二进制表示中,所有數字皆為1[4]。
卢卡斯-莱默检验法的快速傅里叶变换比起其他方式能更快速尋找到梅森素数。
現時紀錄
[编辑]截至2018年,已知最大質數為282,589,933 − 1,共有24,862,048位數,由互联网梅森素数大搜索於2018年12月發現[5]。其數值為:
881694327503833265553939100378117358971207354509066041067156376412422630694756841441725990347723283108837509739959776874 ...
(省略24861808位)
... 852806517931459412567957568284228288124096109707961148305849349766085764170715060409404509622104665555076706219486871551
上面只顯示首尾各120位數。
獎金
[编辑]互联网梅森素数大搜索現為下載其軟件並成功尋找新梅森素数的參與者提供3,000美元獎金,該梅森素数的數位應少於一億位。
电子前哨基金会亦為大質數的找尋設立了數個獎項[6],互联网梅森素数大搜索亦有協調一億數位以上的質數搜索,並與成功尋找者分享电子前哨基金会所提供的150,000元美金獎金。
1999年發現首個超過一百萬數位的質數,並取得50,000美元獎金[7]。2008年發現了超過一千萬數位的質數,並取得100,000美元獎金[6]。時代雜誌稱之為2008年第29名最佳發現[8]兩項獎金皆為互联网梅森素数大搜索的參加者。电子前哨基金会現為首個一億及十億數位的質數提供獎金[6]。
已知最大質數歷史
[编辑]下表列出已知最大質數沿革,並按時序排列[2]。此處Mn = 2n − 1,為2的n次方。時間最長的紀錄保持者為M19 = 524,287,為已知最大質數共計144年。1456年之前未存有關最大質數的紀錄。
數字 | 數字展開 (僅限小於M5000的數字) |
數位 | 發現年份 | 發現者 |
---|---|---|---|---|
M13 | 8,191 | 4 | 1456 | 佚名 |
M17 | 131,071 | 6 | 1588 | 伯多祿·卡塔迪 |
M19 | 524,287 | 6 | 1588 | 伯多祿·卡塔迪 |
6,700,417 | 7 | 1732 | 萊昂哈德·歐拉 歐拉並未正式發表此數,但他於232 + 1的因式分解中已完成此質數的大部分證明過程,故部分專家認為歐拉知道此為質數[9] | |
M31 | 2147483647 | 10 | 1772 | 萊昂哈德·歐拉 |
67,280,421,310,721 | 14 | 1855 | 湯馬斯·克勞森 | |
M127 | 170,141,183,460,469, |
39 | 1876 | 爱德华·卢卡斯 |
20,988,936,657,440, |
44 | 1951 | Aimé Ferrier 使用機械計算機發現,非使用電腦發現的最大質數 | |
180×(M127)2+1 | 521064401567922879406069432539 |
79 | 1951 | J. C. P.米勒與大衛·惠勒[10] 使用劍橋大學的EDSAC電腦 |
M521 | 686479766013060971498190079908 |
157 | 1952 | |
M607 | 531137992816767098689588206552 |
183 | 1952 | |
M1279 | 104079321946...703168729087 | 386 | 1952 | |
M2203 | 147597991521...686697771007 | 664 | 1952 | |
M2281 | 446087557183...418132836351 | 687 | 1952 | |
M3217 | 259117086013...362909315071 | 969 | 1957 | |
M4423 | 285542542228...902608580607 | 1,332 | 1961 | |
M9689 | 478220278805...826225754111 | 2,917 | 1963 | |
M9941 | 346088282490...883789463551 | 2,993 | 1963 | |
M11213 | 281411201369...087696392191 | 3,376 | 1963 | |
M19937 | 431542479738...030968041471 | 6,002 | 1971 | |
M21701 | 448679166119...353511882751 | 6,533 | 1978 | |
M23209 | 402874115778...523779264511 | 6,987 | 1979 | |
M44497 | 13,395 | 1979 | 854509824303...961011228671 | |
M86243 | 25,962 | 1982 | 536927995502...709433438207 | |
M132049 | 39,751 | 1983 | ||
M216091 | 65,050 | 1985 | ||
391581×2216193−1 | 65,087 | 1989 | 群組發現,包括約翰·布朗、藍登·克特·諾爾、B. K. 柏拉狄、哲恩·史密夫、喬爾·史密夫、沙治奧[11][12],為已知最大質數歷史中最大的非梅森素數。 | |
M756839 | 227,832 | 1992 | ||
M859433 | 258,716 | 1994 | ||
M1257787 | 378,632 | 1996 | ||
M1398269 | 420,921 | 1996 | 互联网梅森素数大搜索,喬爾·阿孟較得 | |
M2976221 | 895,932 | 1997 | 互联网梅森素数大搜索,戈登·斯彭斯 | |
M3021377 | 909,526 | 1998 | 互联网梅森素数大搜索,羅蘭·克拉克森 | |
M6972593 | 2,098,960 | 1999 | 互联网梅森素数大搜索,拿恩·哈拉華拉 | |
M13466917 | 4,053,946 | 2001 | 互联网梅森素数大搜索,米高·卡梅倫 | |
M20996011 | 6,320,430 | 2003 | 互联网梅森素数大搜索,米高·沙夫 | |
M24036583 | 7,235,733 | 2004 | 互联网梅森素数大搜索,喬許·芬德利 | |
M25964951 | 7,816,230 | 2005 | 互联网梅森素数大搜索,馬田·諾或 | |
M30402457 | 9,152,052 | 2005 | 互联网梅森素数大搜索,柯蒂斯·库珀與史提夫·布恩 | |
M32582657 | 9,808,358 | 2006 | 互联网梅森素数大搜索,柯蒂斯·库珀與史提夫·布恩 | |
M43112609 | 12,978,189 | 2008 | 互联网梅森素数大搜索,埃德森·史密夫 | |
M57885161 | 17,425,170 | 2013 | 互联网梅森素数大搜索,柯蒂斯·库珀 | |
M74207281 | 22,338,618 | 2016 | 互联网梅森素数大搜索,柯蒂斯·库珀 | |
M77232917 | 23,249,425 | 2017 | 互联网梅森素数大搜索,強納森·佩斯 | |
M82589933 | 24,862,048 | 2018 | 互联网梅森素数大搜索,派翠克·拉羅次 |
互联网梅森素数大搜索發現了近十五個最大質數紀錄。
二十大已知質數
[编辑]克里斯·科德韋爾設有一列表,內共有已知最大的五千個質數[13][14],其中最大二十個列於下表。
排名 | 數字 | 發現日期 | 數位 | 參考資料 |
---|---|---|---|---|
1 | 282589933 − 1 | 2018-12-07 | 24,862,048 | [5] |
2 | 277232917 − 1 | 2017-12-26 | 23,249,425 | [15] |
3 | 274207281 − 1 | 2016-01-07 | 22,338,618 | [16] |
4 | 257885161 − 1 | 2013-01-25 | 17,425,170 | [17] |
5 | 243112609 − 1 | 2008-08-23 | 12,978,189 | [18] |
6 | 242643801 − 1 | 2009-06-04 | 12,837,064 | [19] |
7 | 237156667 − 1 | 2008-09-06 | 11,185,272 | [18] |
8 | 232582657 − 1 | 2006-09-04 | 9,808,358 | [20] |
9 | 10223 × 231172165 + 1 | 2016-10-31 | 9,383,761 | [21] |
10 | 230402457 − 1 | 2005-12-15 | 9,152,052 | [22] |
11 | 225964951 − 1 | 2005-02-18 | 7,816,230 | [23] |
12 | 224036583 − 1 | 2004-05-15 | 7,235,733 | [24] |
13 | 220996011 − 1 | 2003-11-17 | 6,320,430 | [25] |
14 | 10590941048576 + 1 | 2018-10-31 | 6,317,602 | [26] |
15 | 9194441048576 + 1 | 2017-08-29 | 6,253,210 | [27] |
16 | 168451 × 219375200 + 1 | 2017-09-17 | 5,832,522 | [28] |
17 | 1234471048576 − 123447524288 + 1 | 2017-02-23 | 5,338,805 | [29] |
18 | 7 × 66772401 + 1 | 2019-09-09 | 5,269,954 | [30] |
19 | 8508301 × 217016603 − 1 | 2018-03-21 | 5,122,515 | [31] |
20 | 6962 × 312863120 − 1 | 2020-02-29 | 4,269,952 | [32] |
參見
[编辑]參考資料
[编辑]- ^ Caldwell, Chris. The largest known primes - Database Search Output. Prime Pages. [2018-06-03]. (原始内容存档于2021-03-12).
- ^ 2.0 2.1 Caldwell, Chris. The Largest Known Prime by Year: A Brief History. Prime Pages. [2016-01-20]. (原始内容存档于2013-08-19).
- ^ 最後一個非梅森素数為391,581 ⋅ 2216,193 − 1 (页面存档备份,存于互联网档案馆);參見The Largest Known Prime by Year: A Brief History (页面存档备份,存于互联网档案馆),Caldwell着
- ^ Perfect Numbers. Penn State University. [2019-10-06]. (原始内容存档于2020-08-03).
An interesting side note is about the binary representations of those numbers...
- ^ 5.0 5.1 引用错误:没有为名为
GIMPS-2018
的参考文献提供内容 - ^ 6.0 6.1 6.2 Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize. Electronic Frontier Foundation. 电子前哨基金会. 2009-10-14 [2011-11-26]. (原始内容存档于2011-08-05).
- ^ Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize (页面存档备份,存于互联网档案馆).
- ^ Best Inventions of 2008 - 29. The 46th Mersenne Prime. Time (时代公司). 2008-10-29 [2012-01-17]. (原始内容存档于2013-08-22).
- ^ C. Edward Sandifer. How Euler Did Even More. 2007-08-30: 43 [2020-07-30]. ISBN 0883855844. (原始内容存档于2020-08-04).
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