抽象解析数论 （abstract analytic number theory）是数学的一个分支，把传统的解析数论 的观点和方法应用于各种不同的数学领域中。以经典的素数定理 为原型，重点关注抽象渐进分布的结果。该理论由数学家John Knopfmacher，Arne Beurling等人提出。
该理论涉及到一个基本概念，算术半群 ，是满足以下性质的交换幺半群 G：
G有一个可数子集P，使得G中的每个元素
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
a
=
p
1
α
1
p
2
α
2
⋯
p
r
α
r
{\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
素元 （prime）。
存在G上的实值映射
|
⋅
|
:
G
→
R
{\displaystyle |\cdot |:G\to \mathbb {R} }
范数 （norm），使得
|
1
|
=
1
{\displaystyle |1|=1}
对任意
p
∈
P
{\displaystyle p\in P}
|
p
|
>
1
{\displaystyle |p|>1}
对任意
a
,
b
∈
G
{\displaystyle a,b\in G}
|
a
b
|
=
|
a
|
|
b
|
{\displaystyle |ab|=|a||b|}
对任意实数
x
>
0
{\displaystyle x>0}
N
G
(
x
)
=
#
{
a
∈
G
:
|
a
|
≤
x
}
{\displaystyle N_{G}(x)=\#\{a\in G:|a|\leq x\}}
若算术半群的底部幺半群G是自由的，则称为加法数系 （additive number system）。
若范数是整数值的，则可以在G上定义计数函数
a
(
n
)
{\displaystyle a(n)}
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
a
(
n
)
{\displaystyle a(n)}
A
(
x
)
=
∑
n
a
(
n
)
x
n
,
P
(
x
)
=
∑
n
p
(
n
)
x
n
{\displaystyle A(x)=\sum _{n}{a(n)x^{n}},\quad P(x)=\sum _{n}{p(n)x^{n}}}
形式幂级数 。可得基本恒等式
A
(
x
)
=
∏
n
(
1
−
x
n
)
−
p
(
n
)
{\displaystyle A(x)=\prod _{n}{(1-x^{n})^{-p(n)}}}
G的收敛半径 定义为幂级数A(x)的收敛半径 。
基本恒等式还有另一种形式
A
(
x
)
=
exp
(
∑
m
≥
1
P
(
x
m
)
m
)
{\displaystyle A(x)=\exp \left({\sum _{m\geq 1}{\frac {P(x^{m})}{m}}}\right)}
算术半群的原型是正整数的乘法半群
Z
+
=
{
1
,
2
,
3
,
⋯
}
{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}=\{1,2,3,\cdots \}}
P
=
{
2
,
3
,
5
,
⋯
}
{\displaystyle P=\{2,3,5,\cdots \}}
|
n
|
=
n
{\displaystyle |n|=n}
N
G
(
x
)
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle N_{G}(x)=\lfloor x\rfloor }
设K是一个代数数域 ，即有理数域
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
O
K
{\displaystyle O_{K}}
O
K
{\displaystyle O_{K}}
O
K
{\displaystyle O_{K}}
I
{\displaystyle I}
O
K
/
I
{\displaystyle O_{K}/I}
兰道素理想定理
O
K
{\displaystyle O_{K}}
算术函数 与ζ函数的用处十分广泛。可以將传统的解析数论中算术函数与ζ函数的各种方法和技巧，推广到任意的算术半群上（可能还要满足几个附加的公理）。例如下面公理：
A公理 ：存在正数A与
δ
{\displaystyle \delta }
ν
(
0
≤
ν
<
δ
)
{\displaystyle \nu \ (0\leq \nu <\delta )}
N
G
(
x
)
=
A
x
δ
+
O
(
x
ν
)
,
x
→
∞
{\displaystyle N_{G}(x)=Ax^{\delta }+O(x^{\nu }),\ x\to \infty }
对任何满足A公理的算术半群，有以下抽象素数定理 ：
π
G
(
x
)
∼
x
δ
δ
log
x
,
x
→
∞
{\displaystyle \pi _{G}(x)\sim {\frac {x^{\delta }}{\delta \log {x}}},\ x\to \infty }
其中
π
G
(
x
)
{\displaystyle \pi _{G}(x)}
|
p
|
≤
x
{\displaystyle |p|\leq x}
Burris, Stanley N. (2001). Number theoretic density and logical limit laws . Mathematical Surveys and Monographs. 86 . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2666-2. Zbl 0995.11001.
Knopfmacher, John (1990) [1975]. Abstract Analytic Number Theory (2nd ed.). New York, NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2. Zbl 0743.11002.
Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory . Cambridge studies in advanced mathematics. 97 . p. 278. ISBN 0-521-84903-9. Zbl 1142.11001. 
