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普朗歇尔定理

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数学中, 普朗歇尔定理(有时称为 Parseval-Plancherel 恒等式[1] )是调和分析的一个结果,它由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出一个函数的模的平方的积分等于其频谱的模平方的积分。也就是说,如果 是实轴上的函数,且有频谱 ,那么

更精确的表述是,如果一个函数同时在 Lp 空间 中,那么它的傅里叶变换也在 中,且傅里叶变换是关于 范数的等距映射。这意味着, 上的傅里叶变换可以唯一地扩张为一个 等距同构 ,后者有时称为普朗歇尔变换。这个等距同构实际上是一个幺正映射。实际上,这使得平方可积函数的傅里叶变换成为可能。

普朗歇尔定理在 n欧几里德空间 上仍然有效 。更一般地,该定理对局部紧阿贝尔群也成立。对于满足某些技术上的假定的非交换局部紧群,还有另一个版本的普朗歇尔定理。这是非交换调和分析的主题。

傅里叶变换的幺正性在科学和工程领域通常被称为帕塞瓦尔定理,该定理基于一个用于证明傅里叶级数幺正性的早期结果(但不那么具有一般性)。

借助极化恒等式,我们还可以将普朗歇尔定理用于计算 中两个函数的内积。也就是说,设 是两个 中的函数,而 表示普朗歇尔变换,则 还是 函数,那么还有于是有

参考文献

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  1. ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics有限度免费查阅,超限则需付费订阅. Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0. 

外部链接

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