格林恆等式

格林恆等式（Green's identities）乃是向量分析的一組共三條恆等式，以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。

格林第一恆等式

設定向量場$\mathbf {F} =\psi \nabla \phi$；其中，在$\mathbb {R} ^{3}$的某區域$\mathbb {U}$內，$\phi$是二次連續可微標量函數，$\psi$是一次連續可微標量函數，則從散度定理，

$\int _{\mathbb {U} }\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S$，

可以推導出格林第一恆等式：

$\int _{\mathbb {U} }(\psi \nabla ^{2}\phi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi )\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\psi {\partial \phi \over \partial n}\,\mathrm {d} S$；

其中，$\partial \mathbb {U}$是區域$\mathbb {U}$的邊界，${\frac {\partial }{\partial n}}$是取於邊界面$\partial \mathbb {U}$的法向導數，即${\frac {\partial \phi }{\partial n}}=\nabla \phi \cdot \mathbf {n}$。

格林第二恆等式

假若在區域$\mathbb {U}$內，$\phi$和$\psi$都是二次連續可微，則可交換$\phi$與$\psi$，從$(\psi ,\phi )$的格林第一恆等式得到$(\phi ,\psi )$的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減，則可得到格林第二恆等式：

$\int _{\mathbb {U} }\left(\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi \right)\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left(\psi {\partial \phi \over \partial n}-\phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,\mathrm {d} S$。

格林第三恆等式

假設函數$G$是拉普拉斯方程式的基本解（fundamental solution）：

$\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$；

其中，$\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$是狄拉克δ函數。

例如，在R³，基本解的形式為

$G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={-1 \over 4\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\|}$。

函數$G$稱為格林函數。對於變數$\mathbf {x}$與$\mathbf {x} '$的交換，格林函數具有對稱性，即$G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=G(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )$。

設定$\phi =G$，在區域$\mathbb {U}$內，$\psi$是二次連續可微。假若$\mathbf {x}$在積分區域$\mathbb {U}$內，則應用狄拉克δ函數的定義，

$\psi (\mathbf {x} )-\int _{\mathbb {U} }\left[G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\nabla '^{\,2}\psi (\mathbf {x} ')\right]\,\mathrm {d} V'=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left[\psi (\mathbf {x} '){\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ') \over \partial n'}-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '){\partial \psi (\mathbf {x} ') \over \partial n'}\right]\,\mathrm {d} S'$；

其中，$dV'$、$dS'$分別積分$\mathbf {x} '$於$\mathbb {U}$

這是格林第三恆等式。假若$\psi$是調和函數，即拉普拉斯方程式的解：

$\nabla '^{\,2}\psi (\mathbf {x} ')=0$，

則這恆等式簡化為

$\psi (\mathbf {x} )=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left[\psi (\mathbf {x} '){\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ') \over \partial n'}-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '){\partial \psi (\mathbf {x} ') \over \partial n'}\right]\,\mathrm {d} S'$。

參閱

• 向量恆等式列表
• 數學恆等式列表 (List of mathematical identities)
• 向量微積分恆等式 (Vector calculus identities)