測量員公式 （英語：Surveyor's formula ），又稱為鞋帶公式 （英語：Shoelace formula ）、測量師公式 [ 1] 高斯面積公式 （英語：Gauss's area formula [ 2] [ 3] 笛卡兒平面 上的任意多邊形 面積 的一個公式。內容如下：給定座標平面上
n
{\displaystyle n}
座標 （依逆時針 順序）
A
1
(
x
1
,
y
1
)
,
A
2
(
x
2
,
y
2
)
,
A
3
(
x
3
,
y
3
)
,
…
,
A
n
(
x
n
,
y
n
)
{\displaystyle A_{1}(x_{1},y_{1}),A_{2}(x_{2},y_{2}),A_{3}(x_{3},y_{3}),\dots ,A_{n}(x_{n},y_{n})}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
S
=
1
2
|
x
1
x
2
x
3
.
.
.
x
n
y
1
y
2
y
3
.
.
.
y
n
|
=
1
2
(
|
x
1
x
2
y
1
y
2
|
+
|
x
2
x
3
y
2
y
3
|
+
.
.
.
+
|
x
n
−
1
x
n
y
n
−
1
y
n
|
+
|
x
n
x
1
y
n
y
1
|
)
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&{...}&x_{n}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&{...}&y_{n}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}\left({\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&{y_{2}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}\\y_{2}&{y_{3}}\end{vmatrix}}+...+{\begin{vmatrix}x_{n-1}&x_{n}\\y_{n-1}&{y_{n}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{n}&x_{1}\\y_{n}&{y_{1}}\end{vmatrix}}\right)}
如右圖，
A
B
C
D
E
{\displaystyle ABCDE}
五邊形 。其座標（已依照逆時針順序排序）分別為
A
(
5
,
0
)
,
B
(
7
,
10
)
,
C
(
−
2
,
15
)
,
D
(
−
10
,
2
)
,
E
(
−
5
,
−
6
)
{\displaystyle A(5{,}0){,}B(7,10){,}C(-2,15){,}D(-10,2){,}E(-5{,}-6)}
S
A
B
C
D
E
=
1
2
|
5
7
−
2
−
10
−
5
0
10
15
2
−
6
|
{\displaystyle S_{ABCDE}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}5&7&-2&-10&-5\\0&10&15&2&-6\end{vmatrix}}}
=
1
2
[
5
×
10
−
0
+
7
×
15
−
(
−
2
)
×
10
+
(
−
2
)
×
2
−
(
−
10
)
×
15
+
(
−
10
)
×
(
−
6
)
−
(
−
5
)
×
2
−
5
×
(
−
6
)
]
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[5\times 10-0+7\times 15-(-2)\times 10+(-2)\times 2-(-10)\times 15+(-10)\times (-6)-(-5)\times 2-5\times (-6)]}
=
210.5
{\displaystyle =210.5}
座標平面上的五個點所圍成的五邊形。
^ 存档副本 . [2024-02-07 ] . （原始内容存档 于2024-02-03）. ^ 存档副本 . [2024-02-07 ] . （原始内容存档 于2024-01-23）. ^ 存档副本 . [2024-02-07 ] . （原始内容存档 于2024-01-23）.
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[5\times 10-0+7\times 15-(-2)\times 10+(-2)\times 2-(-10)\times 15+(-10)\times (-6)-(-5)\times 2-5\times (-6)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a304511d8f6f7b528e4e43fca55377cb35d27d35)
