轴角

旋转的轴角表示用两个值参数化了旋转: 一个轴或直线，和描述绕这个轴的旋转量的一个角。它也叫做旋转的指数坐标。

有时也叫做旋转向量表示，因为这两个参数(轴和角)可用在这个轴上的其模是旋转角的一个向量来表示。

用途

轴角表示在处理刚体动力学的时候是方便的。它对特征化旋转还有在刚体运动的不同表示之间的转换是有用的。

假如你站在地面上，选取重力的方向为负 z 方向。如果你左转，你将绕 z 轴旋转 ${\tfrac {\pi }{2}}$ 弧度 (或 90 度)。在轴角表示中，这将是

\langle \mathrm {axis} ,\mathrm {angle} \rangle =\left({\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\frac {\pi }{2}}\right)

这可以表示为指示 z 方向的模为 ${\tfrac {\pi }{2}}$ 的旋转向量。

{\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}

表示旋转有很多方式。理解它们相互之间的区别和如何转换是重要的。

从旋转的轴角表示到旋转矩阵的变换使用指数映射。

\exp \colon so(3)\to SO(3)

本质上说，通过使用泰勒展开，你可以得出在这两种表示之间的闭合形式的关系。给出一个轴 $\omega \in \mathbb {R} ^{3}$ 和角 $\theta \in \mathbb {R}$ ，等价的旋转矩阵给出为:

R=\exp({\hat {\omega }}\theta )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {({\hat {\omega }}\theta )^{k}}{k!}}=I+{\hat {\omega }}\theta +{\frac {1}{2}}({\hat {\omega }}\theta )^{2}+{\frac {1}{6}}({\hat {\omega }}\theta )^{3}+\cdots

R=I+{\hat {\omega }}\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)+{\hat {\omega }}^{2}\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)

R=I+{\hat {\omega }}\sin(\theta )+{\hat {\omega }}^{2}(1-\cos(\theta ))

这里的 R 是 3x3 旋转矩阵而帽算子给出与叉积被乘数对应的反对称矩阵算符。

要获得旋转矩阵的轴角表示，计算旋转的角

\theta =\arccos \left({\frac {\mathrm {trace} (R)-1}{2}}\right)

并接着使用它来找到轴

\omega ={\frac {1}{2\sin(\theta )}}{\begin{bmatrix}R(3,2)-R(2,3)\\R(1,3)-R(3,1)\\R(2,1)-R(1,2)\end{bmatrix}}

要从轴角坐标变换到四元数使用下列表达式:

\mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\omega \sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)

给出一个单位四元数 $q = r + v$ ，提取轴角坐标可以使用下列表达式:

\theta =2\,\arccos(r)\,

\omega ={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&\mathrm {if} \;\theta \neq 0\\0,&\mathrm {otherwise} \end{cases}}