旋轉的軸角表示用兩個值參數化了旋轉: 一個軸或直線,和描述繞這個軸的旋轉量的一個角。它也叫做旋轉的指數坐標。
有時也叫做旋轉向量表示,因為這兩個參數(軸和角)可用在這個軸上的其模是旋轉角的一個向量來表示。
軸角表示在處理剛體動力學的時候是方便的。它對特徵化旋轉還有在剛體運動的不同表示之間的轉換是有用的。
假如你站在地面上,選取重力的方向為負 z 方向。如果你左轉,你將繞 z 軸旋轉 弧度 (或 90 度)。在軸角表示中,這將是
這可以表示為指示 z 方向的模為 的旋轉向量。
表示旋轉有很多方式。理解它們相互之間的區別和如何轉換是重要的。
從 so(3) 到 SO(3) 的指數映射
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從旋轉的軸角表示到旋轉矩陣的變換使用指數映射。
本質上說,通過使用泰勒展開,你可以得出在這兩種表示之間的閉合形式的關係。給出一個軸 和角 ,等價的旋轉矩陣給出為:
這裡的 R 是 3x3 旋轉矩陣而帽算子給出與叉積被乘數對應的反對稱矩陣算符。
從 SO(3) 到 so(3) 的對數映射
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要獲得旋轉矩陣的軸角表示,計算旋轉的角
並接著使用它來找到軸
要從軸角坐標變換到四元數使用下列表達式:
給出一個單位四元數 q = r + v,提取軸角坐標可以使用下列表達式: