围道
C
{\displaystyle C}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
在复分析 中，辐角原理 （Argument principle ）或称柯西辐角原理 （Cauchy's argument principle ）说如果
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
C
{\displaystyle C}
亚纯函数 ，且
f
{\displaystyle f}
C
{\displaystyle C}
零点 或极点 ，则下列公式成立
∮
C
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
(
N
−
P
)
{\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)}
这里
N
{\displaystyle N}
P
{\displaystyle P}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
C
{\displaystyle C}
重数 ，极点计阶数 。定理的陈述假设围道
C
{\displaystyle C}
更一般地，假设
C
{\displaystyle C}
复平面 中一个开集
Ω
{\displaystyle \Omega }
可缩 为一点。对每个
z
∈
Ω
{\displaystyle z\in \Omega }
n
(
C
,
z
)
{\displaystyle n(C,z)}
C
{\displaystyle C}
z
{\displaystyle z}
卷绕数 。则
∮
C
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
(
∑
a
n
(
C
,
a
)
−
∑
b
n
(
C
,
b
)
)
,
{\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi \mathrm {i} \left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right),}
这里第一个求和对
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
b
{\displaystyle b}
设
z
N
{\displaystyle z_{N}}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
(
z
)
=
(
z
−
z
N
)
k
g
(
z
)
{\displaystyle f(z)=(z-z_{N})^{k}g(z)}
k
{\displaystyle k}
z
N
{\displaystyle z_{N}}
g
(
z
N
)
≠
0
{\displaystyle g(z_{N})\neq 0}
f
′
(
z
)
=
k
(
z
−
z
N
)
k
−
1
g
(
z
)
+
(
z
−
z
N
)
k
g
′
(
z
)
{\displaystyle f'(z)=k(z-z_{N})^{k-1}g(z)+(z-z_{N})^{k}g'(z)\,\!}
以及
f
′
(
z
)
f
(
z
)
=
k
z
−
z
N
+
g
′
(
z
)
g
(
z
)
.
{\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{N}}+{g'(z) \over g(z)}.}
因
g
(
z
N
)
≠
0
{\displaystyle g(z_{N})\neq 0}
g
′
(
z
)
g
(
z
)
{\displaystyle {\frac {g'(z)}{g(z)}}}
z
N
{\displaystyle z_{N}}
z
N
{\displaystyle z_{N}}
f
′
(
z
)
f
(
z
)
{\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
z
N
{\displaystyle z_{N}}
留数 是
k
{\displaystyle k}
设
z
P
{\displaystyle z_{P}}
f
{\displaystyle f}
f
(
z
)
=
(
z
−
z
P
)
−
m
h
(
z
)
{\displaystyle f(z)=(z-z_{P})^{-m}h(z)}
m
{\displaystyle m}
z
P
{\displaystyle z_{P}}
h
(
z
P
)
≠
0
{\displaystyle h(z_{P})\neq 0}
f
′
(
z
)
=
−
m
(
z
−
z
P
)
−
m
−
1
h
(
z
)
+
(
z
−
z
P
)
−
m
h
′
(
z
)
.
{\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}
以及
f
′
(
z
)
f
(
z
)
=
−
m
z
−
z
P
+
h
′
(
z
)
h
(
z
)
{\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}
因为
h
(
z
P
)
≠
0
{\displaystyle h(z_{P})\neq 0}
h
′
(
z
)
h
(
z
)
{\displaystyle {\frac {h'(z)}{h(z)}}}
z
P
{\displaystyle z_{P}}
z
P
{\displaystyle z_{P}}
f
′
(
z
)
f
(
z
)
{\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
z
P
{\displaystyle z_{P}}
−
m
{\displaystyle -m}
将它们放在一起，
f
{\displaystyle f}
k
{\displaystyle k}
z
N
{\displaystyle z_{N}}
f
′
(
z
)
f
(
z
)
{\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
k
{\displaystyle k}
f
{\displaystyle f}
m
{\displaystyle m}
z
P
{\displaystyle z_{P}}
f
′
(
z
)
f
(
z
)
{\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
−
m
{\displaystyle -m}
f
′
(
z
)
f
(
z
)
{\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
由留数定理 我们有关于
C
{\displaystyle C}
2
π
i
{\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }
z
N
{\displaystyle z_{N}}
k
{\displaystyle k}
假设
C
{\displaystyle C}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
0
{\displaystyle 0}
卷绕数 可得出一些推论。我们看到
f
′
(
z
)
f
(
z
)
{\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
C
{\displaystyle C}
log
f
(
z
)
{\displaystyle \log f(z)}
C
{\displaystyle C}
arg
f
(
z
)
⋅
i
{\displaystyle {\arg f(z)}\cdot \mathrm {i} }
C
{\displaystyle C}
2
π
i
{\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }
∮
C
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
(
N
−
P
)
{\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)}
约去因子
2
π
i
{\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }
N
−
P
=
I
(
C
,
0
)
{\displaystyle N-P=I(C,0)}
这里
I
(
C
,
0
)
{\displaystyle I(C,0)}
f
{\displaystyle f}
C
{\displaystyle C}
0
{\displaystyle 0}
卷绕数 ，且有
I
(
C
,
0
)
=
∑
a
n
(
C
,
a
)
{\displaystyle I(C,0)=\sum _{a}n(C,a)}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
一个推论是更广泛的定理，在同样的假设下，如果
g
{\displaystyle g}
Ω
{\displaystyle \Omega }
1
2
π
i
∮
C
g
(
z
)
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
=
∑
a
n
(
C
,
a
)
g
(
a
)
−
∑
b
n
(
C
,
b
)
g
(
b
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).}
例如，如果
f
{\displaystyle f}
C
{\displaystyle C}
z
1
,
…
,
z
p
{\displaystyle z_{1},\dots ,z_{p}}
多项式 ，以及
g
)
z
)
=
z
k
{\displaystyle g)z)=z^{k}}
1
2
π
i
∮
C
z
k
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
=
z
1
k
+
z
2
k
+
⋯
+
z
p
k
,
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\dots +z_{p}^{k},}
是
f
{\displaystyle f}
次方和對稱多項式 。
另一个推论是如果我们计算复积分：
∮
C
f
(
z
)
g
′
(
z
)
g
(
z
)
d
z
,
{\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz,}
对一个合适的
f
{\displaystyle f}
阿贝尔-普兰纳公式
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
−
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
=
f
(
0
)
/
2
+
i
∫
0
∞
f
(
i
t
)
−
f
(
−
i
t
)
e
2
π
t
−
1
d
t
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt,}
这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。
按照弗兰克·史密西斯 一书（Cauchy and the Creation of Complex Function Theory , Cambridge University Press, 1997）的说法，在奥古斯丁·路易·柯西 从法国到都灵 （当时皮德蒙特-萨丁尼亚王国 的首都）的自我放逐途中，柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理（见177页）。但是根据此书，只提到了零点，没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表，故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中，零点与极点都讨论了。定理 1 只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理 2 说“一个单复变量函数 Z 的对数计量（compteurs logarithmiques ，相当于现代教材中的对数留数）等于 Z 与 1/Z 根的个数之差（相当于现代教材中的函数 Z 的零点与极点）。从而现代“辐角原理”可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。
反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理，将其作为奈奎斯特稳定性判据 的理论基础。哈里·奈奎斯特 1932年原理的论文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中，奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 与 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl (Bell Laboratories) 将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在，辐角原理可在复分析 或控制工程学 的现代教材中都可以找到。
