雙代數

在數學中，域 $K$ 上的雙代數是兼具 $K$ 上之結合代數（具單位元）與餘代數的結構，而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數。

定義

相容性意味著餘乘法與餘單位元都是單位結合代數的同態，這也等價於乘法及單位元是餘代數之同態，因為兩者由相同的交換圖刻画。

由單位圖表的對稱性，也可導出下述事實：如果 $B$ 是雙代數，而且 $B$ 具有良好的對偶空間 $B^{\vee }$（例如當 $B$ 維度有限時），則 $B^{\vee }$ 也帶有自然的雙代數結構。

圖表

定義中的相容性由以下交換圖給出：

乘法與餘乘法相容：

乘法與餘單位元相容：

餘乘法與單位元相容：

單位元與餘單位元相容：

在此 $\nabla _{B}:B\otimes _{K}B\to B$ 是代數乘法，而 $\eta _{B}:K\to B$ 是代數之單位元。$\Delta _{B}:B\to B\otimes _{K}B$ 是餘代數乘法，而 $\epsilon _{B}:B\to K$ 是餘代數單位元。$\tau _{B}:B\otimes B\to B\otimes B$ 定義為 $\tau (x\otimes y)=y\otimes x$。

式子

若以算式具體描述，則相容關係有如下之表示（在此採用省略 $\Sigma$ 之 Sweedler 記法）：

乘法與餘乘法相容：

$(ab)_{(1)}\otimes (ab)_{(2)}=a_{(1)}b_{(1)}\otimes a_{(2)}b_{(2)}\,$

乘法與餘單位元相容：

$\varepsilon (ab)=\varepsilon (a)\varepsilon (b)\;$

餘乘法與單位元相容：

$1_{(1)}\otimes 1_{(2)}=1\otimes 1\,$

單位元與餘單位元相容：

$\varepsilon (1)=1.\;$

在此我們省略代數乘法之映射 $\nabla$，而直接以兩項並置表之。同理，單位元 $\eta$ 直接以單位元素 $1$ 表示（對應到 $\eta (1)$）。

相關文獻

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0

參見

• 霍普夫代數
• 餘代數
• 結合代數