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一致收敛

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一致收敛,或称均匀收敛,(英语:Uniform convergence),是数学中关于函数序列收敛的一种定义。其概念大致可想成:若函数序列 fn 一致收敛至函数 f,代表对所有定义域中的点 xfn(x) 收敛至 f(x) 会有(大致)相同的收敛速度[注 1]。由于它对收敛要求较逐点收敛更强,故能保持一些重要的分析性质,例如连续性、黎曼可积性。

定义

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当函数序列中的函数的到达域是 时,此时均匀收敛的定义为:

是定义在 上,到达域为 的一组函数序列,若序列 均匀收敛至函数 在集合 上,即表示对所有 ,存在 ,使得当所有 时有

可将这定义推广到一般的度量空间:

为一集合度量空间。若对一组函数序列 ,存在函数 满足 对所有 ,存在 ,使得当所有 时有

则称序列 一致收敛到


注意到,一致收敛和逐点收敛定义的区别在于,在一致收敛中 的选取仅与 相关,而在逐点收敛中 还多了与点 相关。所以一致收敛必定逐点收敛,而反之则不然。

例子

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在[-1,1]上一致收敛到绝对值函数的多项式序列

例子一:对任何上的连续函数,考虑多项式序列

可证明区间上一致收敛到函数。其中的称为伯恩斯坦多项式

透过坐标的平移与缩放,可知在任何闭区间上都能用多项式一致地逼近连续函数,这是斯通-维尔斯特拉斯定理的一个建构性证明。

逐点收敛而非一致收敛的例子

例子二:考虑区间上的函数序列,它逐点收敛到函数

然而这并非一致收敛。直观地想像:当愈靠近,使接近所需的便愈大。可以依此想法循定义直接证明,也可以利用下节关于连续的性质证明,因为在此例中皆连续,而不连续。

性质

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为一组函数序列,到达域为 ,此时有下述性质:

  • 连续性:若函数序列 均匀收敛至函数 ,则有:
  1. 假设函数序列的定义域是闭包(closure)集合 ,且 的中的一点。若每个 都在 连续,则 也在 点连续。
  2. 若对集合 的每个紧致子集 ,每个 都在 连续,则 上连续。
  • 积分的交换:令 为定义在紧致区间 的函数序列,且序列 均匀收敛至函数 。若每个 都是黎曼可积,则 也是黎曼可积,而且
[注 2]
  • 与微分的交换:可微函数序列 均匀收敛至函数 ,并不能保证 是可微的,还需要对该函数序列的微分,,做些限制,请参看以下定理:
为定义在闭区间 的可微函数序列,且存在一点 使得极限 存在(且有限)。若序列的微分 在区间 一致收敛到函数 ,则序列 均匀收敛至函数 亦是可微函数,且有:

注释

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  1. ^ 所以才会用“均匀”或“一致”来形容这种模式的收敛
  2. ^ 勒贝格积分的框架下能得到更广的结果。

文献

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  • Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
  • G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156(1918)
  • Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10(Paperback); ISBN 0-387-19374-X