中心流形

弹跳的球，若不考虑球在反弹时的形变，其运动可以以牛顿运动定律来描述

中心流形（center manifold）是动力系统数学理论的一部分，最早是用此概念来判断退化平衡点的稳定性。之后这个概念成为数学模型的建构基础。

若将球往上抛。可根据牛顿运动定律预测球的运动，方式是求解有其位置以及速度的微分方程，但在球反弹时的行为就无法用牛顿运动定律来描述。在球反弹时，球会有形变，就无法用刚体的牛顿运动定律来预测系统的演进，需要用连续介质力学来描述组成球的所有粒子在形变前后的行为。 在反弹后，球的形变会快速消失，球继续依循牛顿运动定律。 若将球视为是由许多互相影响的成分所组成的系统，牛顿运动定律对球的描述，只以位置、速度及旋转方式呈现，即为变形球的中心流形 。若有一系统是由许多互相影响成分所组成，而其影响效应会快速衰减，可以用中心流形，以较简单的方式来描述系统。

中心流形在分岔理论中有重要的地位，因为系统在中心流形的位置会出现特殊的行为，在多尺度物理学中也很重要，微尺度的长时间动态常常会受到相对简单、变数尺度较大的中心流形吸引。

定义

系统${\dot {x}}=x^{2},$ ${\dot {y}}=y$，鞍点平衡点的中心流形（红色）及不稳定中心流形（绿色）

在2D相图上乱数选择的点，这些点的动态会指数收敛为较慢（非指数）的动态。中心流形动态的研究可以判断在原点的非双曲性不动点的稳定性

动力系统的中心流形是以系统的平衡点为基础，以球为例，就是球静止，没有变形的状态。 平衡点的中心流形包括了邻近的轨迹中，没有快速指数衰减，也没有快速指数增长的的轨迹。若以球来说，中心流形中包括了球的移动及自旋运动，但不包括球的形变（因为形变会由于阻尼力而快速衰减）。

在数学上，研究动力系统平衡点的第一步是线性化，之后计算其特征值和特征向量。 其对应特征值有负实数的特征向量（若有广义特征向量的话，也包括在内）可以组成基的特征空间。 对应特征值有正实数的（广义）特征向量可以组成不稳定的特征空间。 若平衡点为双曲平衡点（所有线性化后的特征值，实部都不为0）。Hartman-Grobman定理可以保证在平衡点附近的动态可以完全用特征值及特征向量来描述。

若平衡点的特征值中，有特征值的实部是零，则是对应的（广义）特征向量会组成“中心特征空间”，以球为例，就是球在不受力下刚体动力学的整个集合。 若不只考虑线性化后的系统，将动力系统加上非线性或是外力的微扰，中心特征空间会变形到邻近的中心流形 。 若特征值不只是实部为零，而是特征值的复数值为零（如球的例子），对应的特征空间可以更准确的对应慢流形。 中心（慢）流形的行为无法由线性化来判定，因此不容易建构。

类似的道理，在稳定特征空间或不稳定特征空间加上非线性或是外力的微扰，会让系统变形到邻近的稳定流形或不稳定流形 。 这三种流形是不变流形中的三类例子。

令${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}})$是动力系统，其平衡点为${\textbf {x}}^{*}$，则系统在平衡点附近的线性化为

${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}=A{\textbf {x}},\quad {\text{where }}A={\frac {d{\textbf {f}}}{d{\textbf {x}}}}({\textbf {x}}^{*}).$

雅可比矩阵 $A$可以定义以下的三种子空间：

• 稳定子空间，是由特征值实部小于0的广义特征向量所生成。
• 不稳定子空间，是由特征值实部大于0的广义特征向量所生成。
• 中心子空间，是由特征值实部等于0的广义特征向量所生成。

依照应用的不同，也会分类以下的子空间，例如中心稳定、中心不稳定、次中心、或是快速子空间。 这些子空间都是线性化方程的不变子空间。

对应线性系统，非线性系统会有慢流形，每一种都会包括一种非线性系统的轨迹集合。

• 和稳定子空间相切，有相同维度的不变流形是稳定流形.
• 不稳定流形和不稳定子空间相切，也有相同维度。
• 中心流形和中心子空间相切，有相同维度。若中心子空间的特征值都为0，此中心流形会称为慢流形。

中心流形的相关定理

中心流形存在定理（center manifold existence theorem）内容是：若函数${\textbf {f}}({\textbf {x}})$ 是$C^{r}$（$r$次的连续可微），则针对每一个平衡点，都存在一个有限大小的邻域，使得以下三项叙述，至少会有一项成立：

• 唯一的$C^{r}$稳定流形
• 唯一的$C^{r}$不稳定流形
• （可能不唯一的）$C^{r-1}$中心流形

像非线性的座标转换为正则型式就可以清楚的分出这三种流形。有网页服务可以针对有限维的系统进行必要的电脑计算。

若在那些没有不稳定流形的例子中，中心流形一般会和建模有关。 中心流形出现定理提到可以选择邻域，使系统的所有解维持在会以指数收敛到中心流形上某个解${\textbf {y}}(t)$的范围内。 也就是说 ${\textbf {x}}(t)={\textbf {y}}(t)+{\mathcal {O}}(e^{-\beta 't})\quad {\text{as }}t\to \infty \,,$ 会以某速率值$\beta '$进行 。 此定理也确保针对多许多的初始条件，整个系统的解会快速指数收敛到比较低维度的中心流形上。

第三个定理是近似定理，若针对某不变流形（例如${\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})$），有近似表示式满足系统的微分方程，当${\textbf {s}}\to {\textbf {0}}$时，其residuals为${\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})$，则不变流形可以用${\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})$来近似，其误差也是同一量级的，例如是${\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})$。

另一种反向分析

上述的理论都是针对特定问题，想找到不变流形的性质。特别是建构一个流形来近似系统的不变流形。 另一种方式是针对给定系统，找到一个近似的系统，建构此系统的不变流形，这称为反向分析。 目的是将理论应用到范围更广的系统中，并估计误差以及有效域的大小 。

此方法和数值建模中公认的反向误差分析完全相同。

中心流形以及非线性系统的分析

平衡点的稳定性和其流形的“稳定性”有关，中心流形是否存在的问题也带来了有关中心流形的系统动力学问题，这可以由中心流形约化（center manifold reduction）来分析，再配合系统参数μ，可以引到分岔理论的概念。也有些网站可以进行相关计算。

例子

简单的例子

考虑以下系统

${\dot {x}}=x^{2},\quad {\dot {y}}=y.$

在原点的不稳定流形为y轴，稳定流形为平凡集{(0, 0)}。不在稳定流形上的任何轨迹都满足以下形式的方程式$y=Ae^{-1/x}$，其中A为实数的常。可以推得针对任意的A，可以创建中心流形，方式是将$y=Ae^{-1/x}$，x > 0的部分，和x为非正值的X轴连接。而且，所有的中心流形都有潜在的非唯一性，不过非唯一性只会发生在变数为复数的情形下。

时滞微分方程

另一个例子可以用中心流形来为霍普夫分岔建模，霍普夫分岔是发生在以下的时滞微分方程

${dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^{2}-x^{3}$

参数$a\approx 4$的情形。严格来说，因为有时滞，微分方程会变成无限维。 不过可以用以下的方式来近似时滞，让系统仍为有限维度。

定义$u_{1}(t)=x(t)$ 以及适当的时滞变数 $x(t-1)\approx u_{3}(t)$，利用其中间值 ${du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})$及 ${du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})$.

在接近临界值的参数$a=4+\alpha$，时滞微分方程可以用以下系统来近似

${\frac {d{\textbf {u}}}{dt}}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&-4\\2&-2&0\\0&2&-2\end{array}}\right]{\textbf {u}}+\left[{\begin{array}{c}-\alpha u_{3}-2u_{1}^{2}-u_{1}^{3}\\0\\0\end{array}}\right].$

透过网页服务，可以找到相量$s(t)$ 以及其共轭${\bar {s}}(t)$，中心流形为

${\textbf {u}}=\left[{\begin{array}{c}e^{i2t}s+e^{-i2t}{\bar {s}}\\{\frac {1-i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {1+i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\\-{\frac {i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\end{array}}\right]+{O}(\alpha +|s|^{2})$

中心流形的演进为

${\frac {ds}{dt}}=\left[{\frac {1+2i}{10}}\alpha s-{\frac {3+16i}{15}}|s|^{2}s\right]+{O}(\alpha ^{2}+|s|^{4})$

从此演进可以看出，系统在$\alpha >0\ (a>4)$时，在原点是线性的不稳定，但三次非线性使其有稳定的极限环，就像经典霍普夫分岔的结果一样。

参考资料

• Guckenheimer, John; Holmes, Philip, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Sciences 42, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-90819-9, corrected fifth printing .