哈利托诺夫定理

哈利托诺夫定理（Kharitonov's theorem）是控制理论中判断动力系统稳定性理论的定理，此定理是用在无法得到系统参数的确切值，因此无法判断稳定性（例如判断所有根的实部都是负值）的情形下，哈利托诺夫定理用在系统系数只确定在一定范围内的情形下，提供了针对区间多项式（interval polynomial）的稳定性判断方式，而劳斯–赫尔维茨稳定性判据是针对一般的多项式。

定义

区间多项式是指以下的多项式族

$p(s)=a_{0}+a_{1}s^{1}+a_{2}s^{2}+...+a_{n}s^{n}$

其系数$a_{i}\in R$是在以下区间内的任意值

$l_{i}\leq a_{i}\leq u_{i}.$

一般会假设最高位系数不能为0：$0\notin [l_{n},u_{n}]$.

定理

区间多项式稳定（也就是其中所有多项式都稳定）当且仅当以下四个“哈利托诺夫多项式”都稳定：

$k_{1}(s)=l_{0}+l_{1}s^{1}+u_{2}s^{2}+u_{3}s^{3}+l_{4}s^{4}+l_{5}s^{5}+\cdots$

$k_{2}(s)=u_{0}+u_{1}s^{1}+l_{2}s^{2}+l_{3}s^{3}+u_{4}s^{4}+u_{5}s^{5}+\cdots$

$k_{3}(s)=l_{0}+u_{1}s^{1}+u_{2}s^{2}+l_{3}s^{3}+l_{4}s^{4}+u_{5}s^{5}+\cdots$

$k_{4}(s)=u_{0}+l_{1}s^{1}+l_{2}s^{2}+u_{3}s^{3}+u_{4}s^{4}+l_{5}s^{5}+\cdots$

哈利托诺夫定理的特点是：只要确认四个多项式，就可以判断其中所有的多项式是否都稳定。因此可以用劳斯–赫尔维茨稳定性判据或是其他方式判断。相对于一般多项式的稳定性判断，哈利托诺夫定理只要花四倍时间，就可以判断区间多项式内的所有多项式是否稳定。

哈利托诺夫定理可用在鲁棒控制中，即使在因为测量误差、运作条件的变化、设备磨损等造成零件特性的变化时，系统仍然可以正常运作。

参考资料

• V. L. Kharitonov, "Asymptotic stability of an equilibrium position of a family of systems of differential equations", Differentsialnye uravneniya, 14 (1978), 2086-2088. （俄文）
• Academic home page of Prof. V. L. Kharitonov（页面存档备份，存于互联网档案馆）