外共变导数

在数学中，外共变导数（exterior covariant derivative），时或称为共变外导数（covariant exterior derivative），是流形上的微积分中一个非常有用的概念，它可能将利用主联络的公式化简。

设 P → M 是光滑流形 M 上一个主 G-丛。如果 $\phi$ 是 P 上一个张量性 k-形式，则其外共变导数定义为：

$D\phi (X_{0},X_{1},\dots ,X_{k})=\mathrm {d} \phi (h(X_{0}),h(X_{1}),\dots ,h(X_{k}))$

这里 h 表示到水平子空间的投影，$H_{x}$ 由联络定义，其核为该纤维丛的全空间切丛的 $V_{x}$（铅直子空间）。这里 $X_{i}$ 是 P 上任何向量场。Dφ 是 P 上一个张量性 k+1 形式。

不像通常的外导数的平方是 0，我们有

$D^{2}\phi =\Omega \wedge \phi$

这里 $\Omega$ 表示曲率形式。特别的 $D^{2}$ 对平坦联络消没。

物理学

若A是联络形式、f是函数，则外共变导数是

$d_{D}f=(d+A)f$

若$M\in End(E)$是矩阵函数（E是主丛；例如，属于G的李代数），则外共变导数是

$d_{D}M=dM+[A,M]$

而且，若F是曲率形式，则

$F=d_{D}^{2}=d_{D}A=dA+A^{2}$

比安基恒等式是

$d_{D}F=d_{D}^{3}=0$

相关条目

• 外联络
• 杨-米尔斯场论
• 陈-西蒙斯形式

参考文献

• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157333. 
• Baez. Gauge fields, Knots, Gravity.
• Zee (徐一鸿). QFT in Nutshell.
• Michael Nielsen. Intro to YM. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）