多分辨率分析

多分辨率分析（multiresolution analysis, MRA）或是多尺度近似（multiscale approximation, MSA）是最常用来分析离散小波变换〈DWT〉或是验证快速小波转换〈FWT〉理论的方法。本分析方法在1989年及1998年由Stephane Mallat 著作的论文提到。

定义

L^p空间$L^{2}(\mathbb {R} )$的多分辨率分析由一系列嵌套子空间组成

$\{0\}\dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )$

• 取样定理

  取样定理主要是在重建一个时间长度$T$中被取样过的信号：若信号是有限带宽，只要奈奎斯特频率（Nyquist frequency）比$1/T$小及可完整重建信号；否则得到的重建信号为近似的信号。因此可以说，愈小的$T$使得信号的重建愈容易，$T$的大小将决定信号分辨率，同时，采样率也受到$T$的限制。

• 概念

  倘若一个信号具有变化速度差异大的区段，像是信号快速变化的区段穿插著变化平缓的区段，则上述单一分辨率将不适用于分析信号。因此，多重分辨率分析的概念因此而生。将信号在不同分辨率上分析。

• 定义

  令$V_{j}\left(j=\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \right)$为在函数空间$L^{2}(R)$里的子空间的数列，假如

  1. 分簇性(nested)：$\dots \subset V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}\subset V_{n+1}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )$
  2. 稠密性(density)：$\operatorname {Closure} \left(\bigcup _{i=-\infty }^{\infty }V_{i}\right)={\overline {\dots \cup V_{-1}\cup V_{0}\cup V_{1}\cup \dots }}=L^{2}(R)$
  3. 分离性(seperation)：$\bigcap _{i=-\infty }^{\infty }V_{i}=\dots \cap V_{-1}\cap V_{0}\cap V_{1}\cap \dots =\left\{0\right\}$
  4. 调节性(scaling)：$f(2^{-j}x)\in V_{0}\leftrightarrow f(x)\in V_{j}$
  5. 正规正交基底(orthonormal basis)：$\phi \in V_{0}$且集合$\left\{\phi (x-k),k\in Z\right\}$为$V_{0}$的一正规正交基底。

  则$\left\{V_{j},j\in Z\right\}$为带有调整函数$\phi$的多分辨率分析。

• 应用

  在高频的时候，使用较细致的时间分辨率及较粗糙的频率分辨率。

  在低频的时候，使用较细致的频率分辨率及较粗糙得时间分辨率。

  相当适合使用在长时间都是低频成分，只有在短时间内会有高频成分的信号

参考文献

• Albert Boggess, Francis J. Narcowich, "A First Course in Wavelets with Fourier Analysis"