形变收缩

在拓扑学中，收缩（retraction），顾名思义是将整个空间收缩到一个子空间；形变收缩（deformation retraction）是将空间“连续收缩”成一个子空间的映射。

定义

收缩

设 X 是一个拓扑空间，A 是 X 的一个子空间。那么连续映射

r:X\to A

是一个收缩如果 r 在 A 上的限制^{[锚点失效]}是 A 上的恒等映射；这就是说，r(a) = a 对所有 a 属于 A。等价地，记

\iota :A\hookrightarrow X

为包含，一个收缩是一个连续映射 r 使得

r\circ \iota =id_{A},

即 r 与包含的复合是 A 的恒等。注意，由定义，一个收缩映射 X 映满 A。如果存在收缩映射，则子空间 A 称为 X 的一个收缩核（retract）。例如，任何空间以显然的方式收缩到一点（取常数映射为收缩）。

如果 X 嵌入任何正规空间 Y，作为 Y 的闭子集，X 是 Y 的收缩核，则空间 X 称为绝对收缩核（或 AR）。

邻域收缩

如果存在一个开集 U 使得

A\subset U\subset X

且 A 是 U 的一个收缩核，则 A 称为 X 的一个邻域收缩核。

如果空间 X 闭嵌入任何正规空间 Y中，X 是 Y 的一个邻域收缩核，称为 X 为一个绝对邻域收缩核（或 ANR）。

形变收缩与强形变收缩

称连续映射

d:X\times [0,1]\to X

是一个形变收缩，如果对任何x 属于 X 及 a 属于 A 有

d(x,0)=x,\;d(x,1)\in A

，以及

d(a,1)=a.

换句话说，形变收缩是收缩与 X 上恒等映射的同伦。子空间 A 称为 X 的形变收缩核。形变收缩核是一类特殊的同伦等价。

收缩不一定是形变收缩。例如，以一个单点作为形变收缩核意味着是道路连通的（事实上这个空间是可缩的）。

注：形变收缩的另一个等价的定义如下。连续映射 r: X → A 是一个形变收缩如果它是一个收缩且它与包含映射的复合同伦于 X 上的恒等映射。在这种表述下，一个形变收缩得出它与 X 上的恒等映射之间的一个同伦。

如果在形变收缩的定义中，我们添加条件：

d(a,t)=a\,

对多有 t 属于 [0, 1]，d 称为一个强形变收缩（strong deformation retraction）。换句话说，强形变收缩在同伦中保持 A 中的点不动（也有一些作者将其作为形变收缩的定义）。

邻域形变收缩

U 中的空间偶 $(X,A)$ 称为 NDR-偶如果存在映射 $u:X\rightarrow I$ 使得 $A=u^{-1}(0)$ 与同伦 $h:I\times X\rightarrow X$ ，使得 $h(0,x)=x$ 对所有 $x\in X$ ， $h(t,a)=a$ 对所有 $(t,a)\in I\times A$ ，以及 $h(1,x)\in A$ 对所有 $x\in u^{-1}[0,1)$ 。二元组 $(h,u)$ 称为 $(X,A)$ 作为 NDR-偶的一个表示。