循环连分数

循环连分数是一种可表示为以下形式的连分数：

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k+m-1}+{\cfrac {1}{a_{k+m}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {1}{a_{k+2}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}\,$

前k+1个部分分母不算，后面的部分分母[a_k+1, a_k+2,…a_k+m]会一直重复出现。例如${\sqrt {2}}$即可表示为循环连分数[1,2,2,2,...]。

循环连分数的部分分母{a_i}可以是任何实数或虚数。

1770年，拉格朗日证明一个数字能表示成循环连分数，当且仅当此数为二次无理数。例如${\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]$。

在此条目以下的内容会限制在部分分母为正整数的循环连分数。

纯循环连分数以及循环连分数

因为循环连分数的分子都是1，因此可以用以下简化的方式记录循环连分数：

${\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},\dots ]\\&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}]\end{aligned}}$

第二行的括线表示循环的部分。有些教材书会用以下的写法

${\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\dot {a}}_{k+1},a_{k+2},\dots ,{\dot {a}}_{k+m}]\end{aligned}}$

循环部分的第一个数字和最后一个数字上方加上点识别。

若循环连分数中都是循环部分，没有不循环的第一部分，也就是k = -1, a₀ = a_m，则

$x=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}],$

这样的循环连分数称为纯循环连分数（purely periodic）。例如黄金比例φ的循环连分数是$[1;1,1,1,\dots ]$，就是纯循环连分数，而${\sqrt {2}}$的循环连分数是$[1;2,2,2,\dots ]$，是循环连分数，不是纯循环连分数。

和单位模矩阵之间的关系

循环连分数可以和实数的二次无理数一一对应。其对应关系在明可夫斯基问号函数有提到。先考虑以下的纯循环连分数

$x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}],$

此纯循环连分数可以写成

$x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}$

其中$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$是整数，满足$\alpha \delta -\beta \gamma =1.$。其确切值可以用以下方式求得

$S={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$

表示移位，因此

$S^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}$

以下这个类似反射

$T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

而$T^{2}=I$。这些矩阵都是单位模矩阵，其乘积仍是单位模矩阵。针对上述的$x$，对应的矩阵如下

$S^{a_{1}}TS^{a_{2}}T\cdots TS^{a_{m}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}$

而

$x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}]={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}$

是其显式式。因为所有的矩阵元素都是整数，矩阵也属于模群 $SL(2,\mathbb {Z} ).$。

参考资料

• Long, Calvin T. Elementary Introduction to Number Theory 3 Sub. Waveland Pr Inc. 1972. LCCN 77-171950. 
• Pettofrezzo, Anthony Joseph; Byrkit, Donald R. Elements of Number Theory 11. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1970. ISBN 9780132683005. LCCN 77-81766. 
• Khinchin, A. Ya. Continued Fractions. University of Chicago Press. 1964 [Originally published in Russian, 1935]. ISBN 0-486-69630-8.  含有内容需登入查看的页面 (link) (This is now available as a reprint from Dover Publications.)