时不变系统

时不变系统是输出不会直接随着时间变化的系统。

如果输入信号$x(t)$产生输出$y(t)$，那么对于任意时间延迟的输入$x(t+\delta )$将得到相同时间延迟的输出$y(t+\delta )$。

如果系统的传递函数不是时间的函数，就可以满足这个特性。这个特性也可以用示意图的术语进行描述

如果一个系统是时不变的，那么系统框图与任意延时时刻的框图都是可以互换的。

简单例子

为了表明如何确定系统是时不变系统，以下来看两个系统：

• 系统A：$y(t)=t\,x(t)$
• 系统B：$y(t)=10\cdot x(t)$

由于系统A除了$x(t)$与$y(t)$之外还显式地依赖于t所以它是时变系统，而系统B没有显式地依赖于时间t所以它是时不变的。

正式例子

下面将给出系统A和B更加正式的证明。为了完成这个证明，我们需要使用第二个定义。

系统A：

使用延时的信号作为输入$x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=t\,x_{d}(t)$

$y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )$

那么输出延时$\delta$

$y(t)=t\,x_{d}(t)$

$y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

很显然$y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)$，所以系统是时变系统（time-varying）。

系统B:

以延时的信号作为输入$x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=10\,x_{d}(t)$

$y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )$

现在输出延时$\,\!\delta$

$y(t)=10\,x_{d}(t)$

$y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )$

显然$y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)$，所以系统是时不变（time-invariant）的。尽管有其它方法可以证明这一点，但这是最容易的方法。

抽象例子

我们用$\mathbb {T} _{r}$表示移位算子，其中$r$是矢量变址组需要移位的数值，例如“前进1步”的系统

$x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)$

可以用这个抽象表示

${\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}$

其中${\tilde {x}}$是

${\tilde {x}}=x(t)\,\forall \,t\in \mathbb {R}$

以及产生系统移位输出

${\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\,\forall \,t\in \mathbb {R}$

所定义的函数，这样$\mathbb {T} _{1}$就是输入矢量增加1的算子。

假设我们用算子$\mathbb {H}$表示一个系统，如果系统与移位算子是可交换的，那么它就是时不变的，例如

$\mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,\,\forall \,r$

如果系统方程是

${\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}$

并且如果我们可以将系统算子$\mathbb {H}$首先对${\tilde {x}}$进行运算，然后再用移位算子$\mathbb {T} _{r}$进行运算，或者首先用移位算子$\mathbb {T} _{r}$，然后再用系统算子$\mathbb {H}$进行运算，并且这两种方法的结果等价，那么系统就是时不变的。

首先用系统算子进行运算将得到

$\mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}$

首先用移位算子将得到

$\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}$

如果系统是时不变的，那么

$\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}$

参见

• 有限脉冲响应
• 线性时不变系统理论
• Sheffer sequence
• 状态空间
• 系统分析
• 时变系统
• 平移不变系统