最大与最小元

提示：此条目的主题不是极大元、极小元、极大值或极小值。

60的因数集$P$，按整除偏序$x|y$画成哈斯图。红色子集$S=\{1,2,3,4\}$有两个极大元3、4，和一个极小元1，同时也是最小元。但是，$S$没有最大元。

数学分支序理论中，最大元是某集合中，大于或等于其全体元素的特殊元素。最小元与之对偶，小于等于该集合的任何元素。例如，实数集$\{-3,1,2.5,\pi \}$中，最大元是$\pi$，而最小元是$-3$，但是区间$(0,1)=\{x:0<x<1\}$并无最大元或最小元。

此处“大小”关系除一般实数的大小关系外，也可以是定义在任意集合上的偏序或预序。

严格定义

设$(P,\leq )$为偏序集（或预序集亦可），$S$为其子集。若$S$的元素$g$满足：

对$S$的任意元素$s$，皆有$s\leq g$，

则$g$称为$S$的最大元（英语：greatest element）。对偶地，若$S$的元素$l$满足：

对$S$的任意元素$s$，皆有$l\leq s$，

则$l$称为$S$的最小元（least element）。

由定义，$S$的最大（小）元必定是$S$的上（下）界。且若$P$为偏序集，则集合$S$至多得一个最大元：若$g_{1}$和$g_{2}$皆为最大，则由定义有$g_{1}\leq g_{2}$，又有$g_{2}\leq g_{1}$，由反对称性得$g_{1}=g_{2}$。所以若有最大元，则必定唯一。若改为预序集则不一定。

整个偏序集$P$的最大最小元又称为顶（top）和底（bottom）。顶常以符号记作$1$或$\top$，底则是$0$或$\bot$，在有补格和布尔代数等结构中尤为常见。有顶和底的偏序集称为有界偏序集合。

与极大极小元、上下界之别

集合不一定有最大元，也不一定有上界。即使集合有上界和上确界，也不一定有最大元。举例，实数系$\mathbb {R}$中，任何正数皆是负数子集$\mathbb {R} ^{-}$的上界，且$0$为其上确界，但是没有最大元：不存在“最大的负数”。最小元与下界、下确界的关系也类似。最大元又与极大元（maximal element）不同：有极大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，则同时亦是唯一的极大元。最小元与极小元（minimal element）亦不同。

性质

设$(P,\leq )$为偏序集，$S$为其子集。

• 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
• $S$若有最大元$g$，则$g$必定是极大元。此时，$S$只有这一个极大元：对任意极大元$M$，由于$g$是最大元，必有$M\leq g$，从而由$M$极大知$M=g$。所以若$S$有多于一个极大元，则不能有最大元。
• 若$P$满足升链条件，则其子集$S$有最大元当且仅当其恰有一个极大元。
  • “仅当”：最大元必然是极大元。
  • “当”：假设$S$有唯一极大元$m$但没有最大元。因为$m$不是最大，有$s_{1}\in S$与$m$不可比，又$s_{1}$不是极大，所以有某个$s_{2}\in S$满足$s_{1}<s_{2}$。$s_{2}$与$m$也不可比：若$m<s_{2}$，则与$m$极大矛盾；反之$s_{2}\leq m$又推出$s_{1}<m$，与$s_{1}$、$m$不可比又矛盾。重复以上步骤，可得无穷递升链$s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots$（其中每个$s_{i}$皆与$m$不可比，又非极大），与升链条件矛盾。

全序集的最大最小元

假如$\,\leq \,$限制到子集$S$上为全序（如首段附图的$S=\{1,2,4\}$），则在$S$中，最大元与极大元等价：若$m\in S$为极大，则对任意其他$s\in S$，必有$s\leq m$（$m<s$将与$m$极大矛盾），故$m$是最大元。

所以，全序集中，最大元与极大元两个概念重合，有时也称为最大值（maximum），同理最小元与极小元也称为最小值（minimum）。但上述用法与实值函数论的用法略有出入。研究实值函数时，所谓最大值是函数的值域的最大元，又称全域最大值、绝对最大值、最大值。而限制到某点邻域时，对应值域的最大元（等同于极大元）则称为局域最大值、相对最大值、极大值。最大最小值又合称最值，极值亦同。

集合$S$的最大最小值分别记作$\max S,\min S$。在格理论或概率论中，为方便运算，会将两数$a,b$之最大最小值（即其组成二元集的最大最小元）简记作并$a\vee b$和交$a\wedge b$。换言之：

$a\vee b=\max\{a,b\},\quad a\wedge b=\min\{a,b\}.$

例

例2之哈斯图

• 实数集$\mathbb {R}$中，全体整数组成的子集$\mathbb {Z}$没有上界，从而没有最大元。
• 如图所示，在集合$\{a,b,c,d\}$上，定义自反关系$\,\leq \,$使$a\leq c,$ $a\leq d,$ $b\leq c,$ $b\leq d.$。则$c,d$皆是集合$\{a,b\}$的上界，但因为不可比较，没有最小上界。又$a,b$不可比，$\{a,b\}$没有最大元。
• 有理数集$\mathbb {Q}$中，平方小于2的数所组成的子集$\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\}$有上界（如$100$），但没有最大元，也没有上确界。
• $\mathbb {R}$中，区间$[0,1)$有上确界$1$而没有最大元。但区间$[0,1]$有最大元$1$，同时也是上确界。
• $\mathbb {R} ^{2}$配备积偏序时，满足$0<x<1$（而$y$任意）的二元组$(x,y)$的集合$A$没有上界，也没有最大元。
• 但当$\mathbb {R} ^{2}$配备字典序时，$A$有上界$(1,0)$，但仍没有上确界和最大元。

参见

• 本质上确界和本质下确界
• 始对象和终对象
• 极大与极小元
• 上极限和下极限
• 上界和下界
• 上确界和下确界

参考文献

• 西冈, 康夫. 数学チュートリアル やさしく語る 確率統計. オーム社. 2013. ISBN 9784274214073 （日语）. 
• 松坂, 和夫. 集合・位相入門. 岩波书店. 1968. ISBN 4-00-005424-4 （日语）. 
• Davey, B. A.; Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order 2nd. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1 （英语）.