示性函数 (凸分析)

在数学领域的凸分析中，集合的“示性函数”为凸函数，用于表示给定元素是否为该集合的成员（或非成员）。尽管与常规示性函数定义相似，两者也可以相互转换，但根据如下定义的示性函数更适应于凸分析的方法。

定义

假设 $A$ 为集合 $X$ 的子集。 $A$ 的 “示性函数”

$\chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$

在扩展实数线上的值定义为

$\chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}$

与指示函数的关系

令 $\mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R}$ 为一般指示函数：

$\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1,&x\in A;\\0,&x\not \in A.\end{cases}}$

若采用如下约定

• 对于任意$a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$， $a+(+\infty )=+\infty$ 以及 $a(+\infty )=+\infty$；
• ${\frac {1}{0}}=+\infty$；且
• ${\frac {1}{+\infty }}=0$；

那么，指示函数与示性函数满足如下关系

$\mathbf {1} _{A}(x)={\frac {1}{1+\chi _{A}(x)}}$

同时，

$\chi _{A}(x)=(+\infty )\left(1-\mathbf {1} _{A}(x)\right).$

参考文献

• Rockafellar, R. T. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6.