经典控制理论

在控制理论中，经典控制理论（Classical control theory）是以拉普拉斯变换为分析工具，探讨有控制系统之特性、以及反馈对系统特性的影响。

控制理论中常见的目标是要控制特定系统（称为受控体），使其输出可以依照控制信号（称为参考信号，可能是定值或是变动量）。为了实现此目的，会设计控制器来监控输出，并且比较输出和参考信号。实际输出和参考信号的差（称为误差信号）会反馈到控制器中，再由控制器产生受控体的输入信号，使受控体的实际输出接近参考信号。

经典控制理论主要处理线性时不变的单一输入单一输出系统，可以计算系统输入信号及输出信号的拉普拉斯变换，而系统的传递函数和输入信号及输出信号的拉普拉斯变换有关。

反馈

有些控制器不需要系统资讯，这类控制器称为开回路控制器，缺点是无法监控受控体的输出，无法针对误差进行修正。为了改善这些开回路控制器的问题，经典控制理论引入了负反馈的概念，形成了闭回路控制器。闭回路控制器利用反馈来控制动力系统的状态或是输出。反馈是系统的讯号（例如电压或是电流），对应受控体的状态或输出（例如电动机的速度或是转矩）有关，反馈一般是透过传感器量测到的讯号，再送回控制器为输入讯号，因此形成一个回路。

相较于开回路控制器，闭回路控制器有以下的优点：

• 抑制外来的干扰（例如以下例子中，开车遇到的坡度变化）。
• 即使数学模型存在不确定性，其模型无法完全模拟真实过程，或是模型参数不完全一致时，仍可以确保其性能。
• 可以将不稳定的系统变的稳定。
• 降低参数变化的敏感度。
• 提升系统追随参考命令的性能。

有些系统会同时使用开回路控制及闭回路控制，这类系统中的开回路控制称为前馈控制，目的是进一步提升系统追随参考命令的性能。

像PID控制器就是常见的闭回路控制器。

经典控制及现代控制

控制系统可以在时域下建模，将系统的输出表示为输入、先前系统状态及时间的函数。随着时间变化，系统的状态及输出会随之改变。不过系统的时域模型多半会是高阶的微分方程，人工很不容易求解，有些方程甚至用电脑不容易快速的求解。

为了处理这样的问题，经典控制理论使用拉普拉斯变换将时域的线性非时变常微分方程转换为s域代数多项式。若系统转换到s域中，在处理上会方便很多。

现代控制理论则用不同方式处理，会将常微分方程转换为低阶的时域微分方程组，对应的变数称为状态空间，后续则由线性代数的技巧来处理这些方程组。

拉普拉斯变换

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经典控制理论会用拉普拉斯变换来为系统及信号建模，拉普拉斯变换是针对连续时间信号或系统的频域分析工具，不论是否稳定都可以使用。一个定义在正t ≥ 0下的函数 f(t)，其拉普拉斯变换是函数F(s)，是以下式定义的单方向转换

$F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

其中s是复数的频率参数

$s=\sigma +i\omega$，其中σ和ω为实数。

闭回路传递函数

系统的输出y(t)会透过感测器量测设备F送回控制器，和参考值r(t)比较。控制器C会计算输出和参考值之间的误差e，并且调整受控系统P的输入信号u。如图所示，这类的控制器即为闭回路控制器或回授控制器。

上述的系统称为单一输入单一输出（SISO）系统，也有许多系统属于多重输入多重输出（MIMO）系统，输入及输出信号不止一个。这类系统的输入变数及输出变数不会用标量表示，而是用向量表示。若是针对分布式参数系统，其向量可能会是无限维数（多半会用函数表示）。

简单的回授控制回路

若假设控制器C、受控体P、感测器F都是线性，而且是时不变系统（其传递函数C(s)、P(s)、F(s)不会随时间变化），上述的系统可以用拉普拉斯变换来分析，可得到下式：

$Y(s)=P(s)U(s)\,\!$

$U(s)=C(s)E(s)\,\!$

$E(s)=R(s)-F(s)Y(s).\,\!$

将Y(s)以R(s)来表示，可得

$Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}\right)R(s)=H(s)R(s).$

$H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}$就是系统的闭回路传递函数，其分子是从r到y的前向（开回路）增益，分母是1加上回授回路的增益（称为回路增益）。若$|P(s)C(s)|\gg 1$，也就是对所有的s都有大的范数，且$|F(s)|\approx 1$，则Y(s)会近似R(s)，输出会追随参考输入的变化。

PID控制器

更多信息：PID控制器

PID控制器可能是最常使用的控制器，PID三个字母分别代表比例、积分及微分，是三种根据误差讯号产生输出控制信号的方式。令u(t)是送到受控系统的控制信号，y(t)是量测输出、r(t)是理想的输出信号，追随误差$e(t)=r(t)-y(t)$，PID控制器可以用下式表示

$u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int e(t){\text{d}}t+K_{D}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}e(t).$

可以透过调整三个参数$K_{P}$, $K_{I}$ and $K_{D}$来得到理想的控制回路动态，一般会反复的调整，不一定需要有关受控系统的具体资讯。若只用比例控制，一般在适当的比例下可以确保其稳定性，积分项会消除步阶扰动的影响（在过程控制中的重要规格），微分项是提供系统阻尼，或是调整响应特性。PID控制器是控制系统中最常用到的一种。不过不一定适用在许多复杂的应用中（例如多重输入多重输出系统）。

对PID控制器进行拉氏转换可得到下式：

$u(s)=K_{P}e(s)+K_{I}{\frac {1}{s}}e(s)+K_{D}se(s)$

$u(s)=\left(K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+K_{D}s\right)e(s)$

可以得到其传递函数

$C(s)=\left(K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+K_{D}s\right).$

若将PID控制器表示为以下的形式

$C(s)=K\left(1+{\frac {1}{sT_{i}}}\right)(1+sT_{d})$

回授回路中的一阶滤波器

$F(s)={\frac {1}{1+sT_{f}}}$

有滤波输入的线性致动器

$P(s)={\frac {A}{1+sT_{p}}}$, A = const

将这些放在闭回路传递函数H(s)的式子中，调适就很简单了，只要令

$K={\frac {1}{A}},T_{i}=T_{f},T_{d}=T_{p}$

且令H(s) = 1。

在实际的PID控制器中，纯微分器在物理上无法实现，也会引入一些不想要的特性，会放大高频噪声，也会增加系统的共振点，因此会改用相位领先的补偿器，或是微分器再加上低通的滚降。

工具

经典控制理论中会使用许多工具来分析系统，并且设计控制器。工具包括有根轨迹图、奈奎斯特稳定判据、波德图、增益裕度及相位裕度等。

相关条目

• 状态空间