舒尔不等式

舒尔不等式说明，对于所有的非负实数x、y、z和实数t，都有：

$x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0$

当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。

证明

由于不等式是对称的，不失一般性，我们不妨设$x\geq y\geq z$。对t分类讨论: $t\geq 0$时,

$(x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0\,$

显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。同理，$t<0$时,

$(y-z)[z^{t}(x-z)-y^{t}(x-y)]+x^{t}(x-y)(x-z)\geq 0\,$

证毕。

推广

舒尔不等式有一个推广：

假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是同序的，则以下的不等式成立：

$a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0.$

2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：

考虑$a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R}$，其中$a\geq b\geq c$，而且$x\geq y\geq z$或$z\geq y\geq x$。设$k\in \mathbb {Z} ^{+}$，并设$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$或者是凸函数，或者是单调函数。那么：

${f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.\,$

当x = a、y = b、z = c、k = 1、f(m) = m^t时，即化为舒尔不等式。