菲鲁兹巴赫特猜想

质数间隙函数

在数论中，菲鲁兹巴赫特猜想（Firoozbakht's conjecture 或 Firoozbakht conjecture）是数学上关于质数分布的一个猜想。该猜想以伊朗女数学家法丽德·菲鲁兹巴赫特的名字命名，她于1982年提出此猜想。

该猜想声称，$p_{n}^{1/n}$是一个严格递减函数（其中$p_{n}$是第$n$个质数），也就是说

${\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}\qquad {\text{ for all }}n\geq 1.$

或等价地

$p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}\qquad {\text{ for all }}n\geq 1,$

相关内容可见A182134及A246782。

借由使用最大质数间隙（maximal gap）表，法丽德·菲鲁兹巴赫特确认她的猜想对大到$4.444\times 10^{12}$的数都成立。利用广度更大的最大质数间隙表，目前已知该猜想对任何小于$2^{64}\sim 1.84\times 10^{19}$的质数都成立。

若此猜想成立，那么质数间隙函数$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$会满足下列关系：

$g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}\qquad {\text{ for all }}n>4.$

此外，

$g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1\qquad {\text{ for all }}n>9,$

对此可见A111943。

该猜想是对质数间隙上界最强的猜想之一，甚至比克拉梅尔猜想和尚克斯猜想（Shanks' Conjecture）还强。从该猜想可推出强克拉梅尔猜想，而这与安德鲁·格兰维尔、平茨·亚诺什和赫尔穆特·迈尔等人的直观猜测不一致。而这些人的直观猜测认为，对任意的$\varepsilon >0$下式对无限多的数成立：

$g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}\approx 1.1229(\log p_{n})^{2},$

其中$\gamma$是欧拉-马斯刻若尼常数。

两个相关的猜想（可见A182514的讨论）如下：

比菲鲁兹巴赫特猜想来得弱的猜想：

$\left({\frac {\log(p_{n+1})}{\log(p_{n})}}\right)^{n}<e,$

比菲鲁兹巴赫特猜想来得强的猜想：

$\left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log(n)\qquad {\text{ for all }}n>5,$

参见

• 质数定理
• 安德里卡猜想
• 勒让德猜想
• 奥珀曼猜想
• 克拉梅尔猜想

参考资料

• Ribenboim, Paulo. The Little Book of Bigger Primes Second Edition. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20169-6. 
• Riesel, Hans. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition. Birkhauser. 1985. ISBN 3-7643-3291-3.