赫尔德不等式

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自德国数学家奥托·赫尔德。这是一条揭示L^p空间的相互关系的基本不等式：

设$S$为测度空间，$1\leq p,q\leq \infty$，及${1 \over p}+{1 \over q}=1$，设$f$在$L^{p}(S)$内，$g$在$L^{q}(S)$内。则$f{\mbox{ }}g$在$L^{1}(S)$内，且有

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},$

等号当且仅当$|f|^{p}$与$|g|^{q}$（几乎处处）线性相关时取得，即有常数$\alpha ,\beta$使得$\alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}$对几乎所有$x\in S$成立。

若$S$取作$\{1,...,n\}$附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）$x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}$，有

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}$。

我们称p和q互为赫尔德共轭。

若取$S$为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。

当$p=q=2$，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫尔德不等式可以证明$L^{p}$空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明$L^{p}$空间是$L^{q}$空间的对偶。

备注

• 在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

• 如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||_p和||g||_q表示（可能无穷的）表达式：

${\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}$   以及   ${\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.$

• 如果p = ∞，那么||f ||_∞表示|f |的本性上确界，||g||_∞也类似。

• 在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出 ∞。

证明

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f ||_p = 0，那么f μ-几乎处处为零，且乘积fg μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||_q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||_p > 0且||g||_q > 0。

如果||f ||_p = ∞或||g||_q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||_p和||g||_q位于(0,∞)内。

如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||_∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f ||_p||g||_q，我们可以假设：

$\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.$

我们现在使用杨氏不等式：

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},$

对于所有非负的a和b，当且仅当a^p = b^q时等式成立。因此：

$|f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.$

两边积分，得：

$\|fg\|_{1}\leq 1,$

这便证明了赫尔德不等式。

在p ∈ (1,∞)和||f ||_p = ||g||_q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |^p = |g|^q。更一般地，如果||f ||_p和||g||_q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||_q且β = ||f ||_p），使得：

$\alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}\,$   μ-几乎处处   (*)

||f ||_p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||_q =0 的情况对应于(*)中的α = 0。

反向赫尔德不等式

当$0<p<1$时，$\|\cdot \|_{p}$不再满足三角不等式，此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality):

$\|fg\|_{1}\geq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$

参考文献

• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809 
• Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47 
• Kuptsov, L.P., Hölder inequality, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150 
• Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], （原始内容存档 (PDF)于2008-08-07） 
• 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634. 
• 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918.