Tor函子

在交换代数中，Tor 函子是张量积的导函子。此函子起初是为了表述代数拓扑中的 Künneth 定理与普遍系数定理而定义。

定义

设 $R$ 为环。令 $R-\mathbf {Mod}$ 为左 $R$-模范畴、 $\mathbf {Mod} -R$ 为右 $R$-模范畴（若 $R$ 为交换环，则两者等价）。固定一对象 $B\in R-\mathbf {Mod}$，考虑函子

$T_{B}(-):=-\otimes _{R}B$

这是从 $\mathbf {Mod} -R$ 至阿贝尔群范畴 $\mathbf {Ab}$ 的右正合函子（若 $R$ 为交换环，则它是映至 $R-\mathbf {Mod}$ 的右正合函子），因此能考虑其左导函子 $L_{\bullet }T_{B}$，记为 $\mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)$。

换言之，对任一左 $R$-模 $A$ 取射影分解

$\cdots \rightarrow P_{3}\rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow A\rightarrow 0$

去掉尾项 $A$，并对 $B$ 取张量积，得到链复形

$\cdots \rightarrow P_{3}\otimes B\rightarrow P_{2}\otimes B\rightarrow P_{1}\otimes B\rightarrow 0$

并取其同调群，则得到 $\mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)$

此外，Tor 函子也能以 $A\otimes _{R}-$ 的左导函子定义，两种定义给出自然同构的函子。

性质

• Tor 函子与直和交换：

$\mathrm {Tor} _{n}^{R}(\bigoplus _{i}A_{i},\bigoplus _{j}B_{j})\simeq \bigoplus _{i}\bigoplus _{j}\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A_{i},B_{j})$

• 对任何 $n\geq 1$，$\mathrm {Tor} _{n}^{R}$ 是从 $(\mathbf {Mod} -R)\times (R-\mathbf {Mod} )$ 到 $\mathbf {Ab}$ 的加法函子。若 $R$ 是交换环，则它是从 $(R-\mathbf {Mod} )\times (R-\mathbf {Mod} )$ 到 $R-\mathbf {Mod}$ 的加法函子。
• 依据导函子性质，每个短正合序列 $0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0$ 导出长正合序列：

$\cdots \rightarrow \mathrm {Tor} _{n+1}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(K,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(L,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n-1}^{R}(K,B)\rightarrow \cdots$

对第二个变数亦同。

• 若 $R$ 为交换环，$r\in R$ 非零因子，则

$\mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}$

这是 Tor 函子的词源。

• 由于阿贝尔群皆有长度不超过二的自由分解（因为自由阿贝尔群的子群皆为自由的），此时对所有 $n\geq 2$，有 $\mathrm {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} }(-,-)=0$。

谱序列

设 $A,B$ 为交换环，$M$ 为 $B$-模，并固定一个环同态 $A\to B$。我们有双函子的自然同构：

$(-\otimes _{A}B)\otimes _{B}M=-\otimes _{A}M$

由此导出格罗滕迪克谱序列：对任何 $A$-模 $N$，有谱序列

$E_{pq}^{2}=\mathrm {Tor} _{p}^{B}(\mathrm {Tor} _{q}^{A}(N,B),M)\Rightarrow \mathrm {Tor} _{p+q}^{A}(N,M)$

与平坦模的关系

更多信息：平坦模

一个右 $R$-模是平坦模的充要条件是 $\mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,-)=0$。此时可推出 $\forall n\geq 1,\;\mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,-)=0$。左 $R$-模的情况准此可知。事实上，计算 Tor 函子时可以用平坦分解代替射影分解；凡射影分解必为平坦分解，反之则不然；平坦分解在技术上较富弹性。

文献

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1