上升时间

在电子学中，若要描述一电路在电压（或电流）阶跃函数下的反应，可用上升时间（rise time）表示。上升时间是信号从特定低准位上升到特定高准位需要的时间^[1]，值可以用相对参考输入的比率^[2]或是百分比^[3]来表示。在模拟电路中，其较低百分比及较高百分比多半会是输出阶跃高度的10%及90%（或 $0.1$ 及 $0.9$ ）^[4]。不过，也常会使用其他的值^[5]若是在控制理论中，依照Levine (1996，第158页)，上升时间定义为“响应从终值的 $x%$ 上升到 $y%$ 所需要的时间”，若是欠阻尼的二阶系统，常会以0%至100%的上升时间为准，若是临界阻尼系统，则会是5%至95%的，过阻尼系统会是10%到90%的上升时间^[6]。依照Orwiler (1969，第22页)，上升时间可以用在阶跃上升或是阶跃下降的阶跃响应，不过阶跃下降的场合，有时也会称是下降时间。^[7]，

简介

上升时间是高速电子电路中重要的类比参数，可以量测在高速输入信号时，系统响应的能力^[8]。针对电路、产生器、资料量测及传输设备的上升时间，已有许多的方法可以进行缩减。这些缩减也开始了更高速电子元件或电路的研究，以及研究如何减少电路中的杂散元件（多半是电感及电容）。不过在高速电子学的领域之外，有些应用会希望有较长的上升时间，例如灯光的调光器（英语：dimming），其上升时间较长会延长灯泡的寿命，或是用数位信号控制类比开关（英语：analog switch），较长的上升时间表示流经杂散电容的量会比较少，因此耦合产生的噪音也会比较少。。

影响上升时间的因素

针对给定系统的输出，其上升时间和输入信号的上升时间有关，也和系统特特性有关^[9]。

例如，电阻性电路的上升时间主要会和杂散电容及杂散电感有关。因为所有电路都不只有电路性的元件，也会有电容性或电感性的元件，在负载到达稳态之前，会有电压及（或）电流的延迟。若是纯RC电路，输出的上升时间（10%至90%）约是电阻值（单位为欧姆）和电容值（单位为法拉）乘积的2.2倍， $2.2 RC$ ^[10]。

其他定义

有关上升时间，也有其他和Levine (1996，第158页)不同的定义，偶尔会出现：^[11]。这些定义的差异不只是参考准位的不同，也有些有不同的算法。例如有一种上升时间的定义是考虑阶跃函数响应50%时的切线，再绘图计算和X轴的截距得到上升时间，偶尔会用到这种定义^[12]。另一种定义是由Elmore (1948，第57页)引入^[13]，用到概率论及统计学的概念。考虑阶跃响应 $V (t)$ ，重新定义传播延迟 $t D$ 为一次导数 $V' (t)$ 的矩，也就是

t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}.

最后，用以下的二次矩来定义上升时间 $t r$

t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}}

典型系统的上升时间

符号及标示

所有分析用到的符号及假设条列如下：

根据Levine （1996, p. 158, 2011, 9-3 (313)），定义 $x%$ 为低准位的百分比， $y%$ 为高准位的百分比，参考基准都以要量测上升时间信号的参考信号为准。
$t 1$ 是待分析系统的输出到达稳态值 $x%$ 的时间，而 $t 2$ 是输出到达稳态值 $y%$ 的时间，两者单位都是秒。
$t r$ 是待分析系统的上升时间，单位也是秒。依照定义

t_{r}=t_{2}-t_{1}.

$f L$ 为待分析系统较低截止频率（-3 dB点）的值，单位为赫兹。
$f H$ 为待分析系统较高截止频率的值，单位也是赫兹。
$h (t)$ 是待分析系统在时域下的冲激响应。
$H (ω)$ 是待分析系统在频域下的频率响应。
带宽定义为

BW=f_{H}-f_{L}\,

因为较低的截止频率

f L

往往远小于较高截止频率

f H

，因此

BW\cong f_{H}\,

所有分析的系统，其频率响应都延伸到 $0$ （低通系统），因此

f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW

。

为了简化起见，所有“计算上升时间的简单范例”章节中分析的系统都是增益为1的电路，所有信号都假设是电压：输入是 $V 0$ 伏特的阶跃函数，因此

{\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}

$ζ$ 是特定二阶微分方程的阻尼比， $ω 0$ 则是自然频率。

计算上升时间的简单范例

此章节的目的是计算一些简单系统阶跃响应的上升时间。

高斯响应系统

系统具有高斯响应的条件是其频率响应特征如下

|H(\omega )|=e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}

其中 $σ > 0$ 为常数^[14]，和高截止频率有以下的关系：

f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .

即使这类的频率响应无法用因果滤波器（英语：causal filter）实现^[15]。其用途是因为其系统特性可以用多个一级低通滤波器级联连结而得，其精度会随著个数增加而变好^[16]。对应的冲激响应可以用频率响应的反傅里叶变换计算而得。

{\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}e^{i\omega t}}d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}

直接代入阶跃响应的定义

V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\frac {\sigma t}{2}}e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].

为了要确认系统由10%上升到90%需要的时间，需要求解以下方程：

{\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],

利用误差函数的定义，可以找到 $t = - t 1 = t 2$ 的数值，因为 $t r = t 2 - t 1 = 2 t$ ,

t_{r}={\frac {4}{\sigma }}{\mathrm {erf} ^{-1}(0.8)}\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},

因此

t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.

^[17]

一阶低通RC电路

针对一阶低通RC电路^[18]，10%至90%的上升时间和网路时间常数 $τ = RC$ 成正比：

t_{r}\cong 2.197\tau \,

比例常数可以用输入信号为 $V 0$ 的阶跃函数时，系统的阶跃反应而得：

V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)

求解时间

{\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},

最后可得

\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)

而 $t 1$ 及 $t 2$ 满足以下条件

{\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,

求解方程可得 $t 1$ 和 $t 2$ 的解析式

t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})

t_{2}=\tau \ln {10}\,

上升时间和时间常数成正比^[19]：

t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197

另外，根据

\tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},

则

t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},

因为上截止频率等于频宽

t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.

^[17]

另外，若考虑20%至80%的上升时间， $t r$ 会变成：

t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}

一阶低通LR电路

等于一个简单的一阶低通RL电路，其10%至90%的上升时间和电路时间常数 $τ = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}L⁄R$ 成正比。其和RC电路的差异只在于不同电路中时间常数 $τ$ 的表示方式不同。因此可得到下式

t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197

阻尼二阶系统

根据Levine (1996，第158页)，控制系统中欠阻尼系统的上升时间定义为输出从0%到达终值100%的时间^[6]。二阶欠阻尼系统的上升时间如下^[20]：

t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]

没有零点的二阶系统，其阶跃响应下的正规上升时间可以二次函数近似如下：

t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12\,

中 $ζ$ 是阻尼比， $ω 0$ 是电路的自然频率。

级联模组的上升时间

考虑 $n$ 个非交联的级联模组组成的系统，每一个的上升时间为 $t r i$ , $i = 1,..., n$ ，其阶跃响应没有过冲，假设第一个模组的输入信号的上升时间为 $t r S$ .^[21]。其输出的上升时间 $t r 0$ 为

t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}

依照Valley & Wallman (1948，第77–78页)，此结果可以用中心极限定理来说明，已由Wallman (1950)证明^[22]^[23]。此问题的详细分析可以参考Petitt & McWhorter (1961，§4–9, pp. 107–115),^[24]，他指出Elmore (1948)是第一个用比较严谨的基础证明上述公式的人^[25]。

脚注

^ rise time, Federal Standard 1037C, August 7, 1996 [2019-12-31], （原始内容存档于2016-06-24）
^ 例如(Cherry & Hooper 1968，p.6 and p.306), (Millman & Taub 1965，第44页) and (Nise 2011，第167页).
^ 例如Levine (1996，第158页), (Ogata 2010，第170页) and (Valley & Wallman 1948，第72页).
^ 例如(Cherry & Hooper 1968，p. 6 and p. 306), (Millman & Taub 1965，第44页) and (Valley & Wallman 1948，第72页).
^ 例如 Valley & Wallman (1948，p. 72, footnote 1)有提到：“有些应用会量测5%到95%的上升时间，或是1%到99%的上升时间。”
^ ^6.0 ^6.1 精确来说，Levine (1996，第158页)有提到：“上升时间是从终值的x%上升到y%需要的时间。若是过阻尼控制系统，多半会使用0%至100%的上升时间，若是欠阻尼系统 (...) 多半会使用10%至90%的上升时间。”。不过过阻尼二阶控制系统使用0%至100%的上升时间是不正确的，因为此定义下的上升时间会是无限大。类似RC电路上升时间的例子。在(Levine 2011，第9-3 (313)页)的第二版也有类似的文字。
^ 仍是依照Orwiler (1969，第22页)的定义
^ 依照Valley & Wallman (1948，第72页)“若要复制阶跃函数或是方波的上升缘，最重要的参数就是上升时间，一般是量测10%至90%之间的时间，另一个则是过冲。”，依照Cherry & Hooper (1969，第306页)“放大器在方波响应下，最重要的二个参数是上升时间以及倾斜百分比。”
^ 参考(Orwiler 1969，第27–29页)及级联模组的上升时间章节
^ 参考(Valley & Wallman 1948，第73页)、(Orwiler 1969，p. 22 and p. 30)中的范例，或是一阶低通RC电路章节
^ 可参考 (Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948，第56页)。
^ 参考(Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948，p. 56 and p. 57, fig. 2a).
^ 参考(Petitt & McWhorter 1961，第109–111页)
^ 参考(Valley & Wallman 1948，第724页)及(Petitt & McWhorter 1961，第122页).
^ 根据Paley-Wiener准则（英语：Paley-Wiener criterion），像是(Valley & Wallman 1948，p. 721 and p. 724)中所提到的。Petitt & McWhorter (1961，第122页)也简单说明此事实
^ 参考(Valley & Wallman 1948，第724页), (Petitt & McWhorter 1961，p. 111, including footnote 1, and p.)及(Orwiler 1969，第30页).
^ ^17.0 ^17.1 Compare with (Orwiler 1969，第30页).
^ 也称为“单极点滤波器”，例如(Cherry & Hooper 1969，第639页)
^ 比较(Valley & Wallman 1948，p. 72, formula (2))、 (Cherry & Hooper 1969，p. 639, formula (13.3))或(Orwiler 1969，p. 22 and p. 30)的内容
^ See (Ogata 2010，第171页).
^ " $S$ 表示“来源”，可能是电流源或电压源
^ 这份一页的论文没有任何计算。Henry Wallman（英语：Henry Wallman）列出了一个他称为词典的表，将电子工程及概率论的概念并排。关键是使用拉普拉斯变换。接著他提到，依照词典中这些概念的结果。计多级联模组的阶跃响应可以对应中心极限定理，并且提到：“这是重要的实务结果，前提是电路没有过冲，其反应时间会随著级联个数而增加，约和个数的均方根成正比。”(Wallman 1950，第91页).
^ 也可以参考(Cherry & Hooper 1969，第656页)及(Orwiler 1969，第27–28页).
^ 由(Cherry & Hooper 1969，第656页)引用
^ 参考(Petitt & McWhorter 1961，第109页).

参考资料

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Elmore, William C., The Transient Response of Damped Linear Networks with Particular Regard to Wideband Amplifiers, 应用物理学杂志, January 1948, 19 (1): 55–63 [2019-12-31], doi:10.1063/1.1697872, （原始内容存档于2016-11-14） .
Levine, William S., The Control Handbook, 博卡拉顿: CRC Press: xvi+1548, 1996, ISBN 0-8493-8570-9 .
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Valley, George E., Jr.; Wallman, Henry, §2 of chapter 2 and §1–7 of chapter 7, Vacuum Tube Amplifiers, MIT Radiation Laboratory Series 18, New York City: McGraw-Hill: xvii+743, 1948 .
Wallman, Henry, Transient response and the central limit theorem of probability, Taub, A. H. (编), Electromagnetic Theory (Massachusetts Institute of Technology, July 29–31 1948), Proceedings of Symposia in Applied Mathematics 2, Providence: American Mathematical Society: 91, 1950, MR 0034250, Zbl 0035.08102 .

[Std1037C-1] rise time, Federal Standard 1037C, August 7, 1996 [2019-12-31], （原始内容存档于2016-06-24）

[10-90-2] 例如(Cherry & Hooper 1968，p.6 and p.306), (Millman & Taub 1965，第44页) and (Nise 2011，第167页).

[3] 例如Levine (1996，第158页), (Ogata 2010，第170页) and (Valley & Wallman 1948，第72页).

[4] 例如(Cherry & Hooper 1968，p. 6 and p. 306), (Millman & Taub 1965，第44页) and (Valley & Wallman 1948，第72页).

[5] 例如 Valley & Wallman (1948，p. 72, footnote 1)有提到：“有些应用会量测5%到95%的上升时间，或是1%到99%的上升时间。”

[risedef-6] 6.0 ^6.1 精确来说，Levine (1996，第158页)有提到：“上升时间是从终值的x%上升到y%需要的时间。若是过阻尼控制系统，多半会使用0%至100%的上升时间，若是欠阻尼系统 (...) 多半会使用10%至90%的上升时间。”。不过过阻尼二阶控制系统使用0%至100%的上升时间是不正确的，因为此定义下的上升时间会是无限大。类似RC电路上升时间的例子。在(Levine 2011，第9-3 (313)页)的第二版也有类似的文字。

[7] 仍是依照Orwiler (1969，第22页)的定义

[8] 依照Valley & Wallman (1948，第72页)“若要复制阶跃函数或是方波的上升缘，最重要的参数就是上升时间，一般是量测10%至90%之间的时间，另一个则是过冲。”，依照Cherry & Hooper (1969，第306页)“放大器在方波响应下，最重要的二个参数是上升时间以及倾斜百分比。”

[9] 参考(Orwiler 1969，第27–29页)及级联模组的上升时间章节

[10] 参考(Valley & Wallman 1948，第73页)、(Orwiler 1969，p. 22 and p. 30)中的范例，或是一阶低通RC电路章节

[11] 可参考 (Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948，第56页)。

[12] 参考(Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948，p. 56 and p. 57, fig. 2a).

[13] 参考(Petitt & McWhorter 1961，第109–111页)

[14] 参考(Valley & Wallman 1948，第724页)及(Petitt & McWhorter 1961，第122页).

[15] 根据Paley-Wiener准则（英语：Paley-Wiener criterion），像是(Valley & Wallman 1948，p. 721 and p. 724)中所提到的。Petitt & McWhorter (1961，第122页)也简单说明此事实

[16] 参考(Valley & Wallman 1948，第724页), (Petitt & McWhorter 1961，p. 111, including footnote 1, and p.)及(Orwiler 1969，第30页).

[Orwp30-17] 17.0 ^17.1 Compare with (Orwiler 1969，第30页).

[18] 也称为“单极点滤波器”，例如(Cherry & Hooper 1969，第639页)

[19] 比较(Valley & Wallman 1948，p. 72, formula (2))、 (Cherry & Hooper 1969，p. 639, formula (13.3))或(Orwiler 1969，p. 22 and p. 30)的内容

[20] See (Ogata 2010，第171页).

[21] " $S$ 表示“来源”，可能是电流源或电压源

[22] 这份一页的论文没有任何计算。Henry Wallman（英语：Henry Wallman）列出了一个他称为词典的表，将电子工程及概率论的概念并排。关键是使用拉普拉斯变换。接著他提到，依照词典中这些概念的结果。计多级联模组的阶跃响应可以对应中心极限定理，并且提到：“这是重要的实务结果，前提是电路没有过冲，其反应时间会随著级联个数而增加，约和个数的均方根成正比。”(Wallman 1950，第91页).

[23] 也可以参考(Cherry & Hooper 1969，第656页)及(Orwiler 1969，第27–28页).

[24] 由(Cherry & Hooper 1969，第656页)引用

[25] 参考(Petitt & McWhorter 1961，第109页).

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简介