单位元
 |
提示：此条目的主题不是单位圆。单位元（unit element[1]）也称恒等元（identity element）、中立元（neutral element）、恒元，是集合里的一种特殊元素，与该集合里的二元运算有关。单位元和其他元素结合时，并不会改变那些元素。单位元在群和其他相关概念中都有使用。
设为一带有一二元运算的集合（称为原群）。若内有一元素对S内所有元素a满足，则被称为左单位元；若满足，则称为右单位元。而若同时为左单位元及右单位元，则称为双边单位元，又简称为单位元。
对应加法的单位元称为加法单位元（通常被标为0），而对应乘法的单位元则称为乘法单位元（通常被标为1）。这一区分大多被用在有两个二元运算的集合上，比如环。
例子
[编辑]集合 运算 单位元 实数 +（加法） 0 实数 ·（乘法） 1 实数 （乘方） 1（只为右单位元） 复数 +（加法） 0 复数 ·（乘法） 1 矩阵 +（加法） 零矩阵 方阵 ·（乘法） 单位矩阵 所有从集合M映射至其自身的函数 （函数复合） 单位函数 所有从集合M映射至其自身的函数 （折积） （狄拉克δ函数） 字串 串接 空字元串 扩展的实数轴 最大值 扩展的实数轴 最小值 集合M的子集 （交集） M 集合 （联集） （空集） 布尔逻辑 （逻辑与） ⊤（真值） 布尔逻辑 （逻辑或） ⊥（假值） 闭二维流形 #（连通和） 只两个元素 * 定义为
且和都是左单位元，但不存在右单位元和双边单位元
如最后一个例子所示，有多个左单位元是可能的，且事实上，每一个元素都可以是左单位元。同样地，右单位元也一样。但若同时存在有右单位元和左单位元，则它们会相同，且仅存在一个双边单位元。要证明这个，设为左单位元且为右单位元，则。特别的，不存在两个以上的单位元。若有两个单位元和，则必同时等于和。
一个代数也可能没有单位元。最常见的例子为向量的内积和外积。前者缺乏单位元的原因在于，相乘的两个元素都会是向量，但乘积却会是个纯量。而外积缺乏单位元的原因则在于，任一非零外积的方向必和相乘的两个向量相正交，因此不可能得出一个和原向量指向同方向的外积向量。