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导出函子

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同调代数中,阿贝尔范畴间的某类函子可以“求导”,以获得相应的导出函子。此概念可以融贯数学中许多领域里的具体构造。

动机

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考虑导出函子的原始目的是从一个短正合序列造出一个长正合序列。具体言之:给定两个阿贝尔范畴 ,及其间的加法函子 。假设 为左正合函子,换言之,对 中的任一短正合序列

下列序列是正合的:

由此自然导出一个问题:如何自然地延长此正合序列? 的(右)导出函子是一族函子 ,满足 ,且有相应的长正合序列:

导出函子可以视为 的右正合性的尺度。

构造与初步性质

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右导出函子

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今假设 中有充足的内射元。设 ,根据假设,存在内射分解

取函子 ,得到上链复形

定义 为其第 个上同调群,特别是有 。注意到两点:

  • 由于任两个内射分解彼此同伦等价,函子 在同构的意义下是明确定义的。
  • 是内射对象,取平凡分解 ,可知当 时有

左导出函子

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左导出函子的建构与右导出函子对偶。设 为右正合加法函子,并假设 有充足的射影元。对任一对象 ,取一射影分解

取函子 ,得到链复形:

定义 为其第 个同调群,其性质类似右导出函子。

逆变函子的情形

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对于逆变函子也能定义导出函子,此时的导出函子也是逆变函子。较有系统的方法是利用反范畴的概念。

长正合序列

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对于右导出函子的情形,任一短正合序列 给出长正合序列

对于左导出函子,相应的长正合序列形如

此外,这些长正合序列在下述意义下是“自然”的:

  • 短正合列之间的态射导出长正合序列间的态射。
  • 函子间的自然变换导出长正合序列尖的态射。

这些性质是蛇引理的推论。

应用

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  • 层上同调:对拓扑空间 ,考虑其上的阿贝尔群层构成的范畴,它有充足的内射元。整体截面函子 是左正合函子,相应的右导出函子即层上同调函子
  • 平展上同调:平展上同调用于概形上的另一种上同调理论。
  • Ext函子:设 为环,考虑 -模范畴,它有充足的内射元及射影元。对任一 -模 ,函子 为左正合的,其右导出函子记为
  • Tor函子:同样考虑 -模范畴,对任一 -模 ,函子 为右正合的,其左导出函子记为
  • 群上同调:设 。所谓 -模是指被 作用的阿贝尔群-模范畴可以理解为 -模范畴。对任一 -模 ,定义 ,这是一个左正合函子,其右导出函子即群上同调函子

推广

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现代的导范畴理论为导出函子提供了一套较广的框架。

文献

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  • Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1