在数学上,特别是拓朴学中,开集是对实数开区间进行推广之后得到的抽象集合。
通常微积分的课程中,会借助欧式空间的距离去描述数列极限;直观上,当 越来越大时数列 跟 要多靠近有多靠近的时候,就说 是数列 的极限,但这需要距离去严谨的描述“靠近程度”,开集就是来自于" 点附近"这样的直观概念。类似的,函数极限也需要距离的概念去严谨定义。
直观上,于“开集”或说“不含边界的集合”中任取一点,都可以找到一个以此点为圆心,且半径足够小到落在“开集”里的圆盘(但圆盘的边界可能不在开集内)。开集的严谨定义由此而来。
所谓的维欧式空间,指的是囊括所有实数n-元组的集合(记为)。 为了定义开集,可以推广勾股定理,将 中任两点 与 的欧式距离定义为:
然后定义所谓的(维)开球(open ball):
也就是直观上,一个以为球心,为半径但不包含表面的球体。
这样就可以作如下的定义:
也就是直观上,取开集 的任意点 都有一个以 为球心的开球完全包含于 。
只要把上节的欧式距离改成一般的度量,开集的概念很容易推广到赋距空间中。
以下把 中的开球(open ball)定义成:
这样就可以作如下的定义:
这的确推广了欧式空间部分的定义,因为欧式距离 和本身就组成了一个赋距空间。
赋距空间的开集还会有以下的性质:
证明
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(1) 对每个都有,所以是自己的一个开集;另外对所有都有(直观上来说没有点可以当开球的球心),所以逻辑上不用验证是否有开球包含于,就可以得到满足开集的定义 (直观上来说,前提为假的话,不论结论是否为真,“前提=>结论”都是对的)。
(2) 若,依据假设存在 使得 且 ,这样取 的话,就有,是故也是 的开集。
(3) 若,依照联集的性质,存在 使得 ;但根据假设, 都是 的开集,换句话说,存在 使 ,那因为 ,所以有 ,是故 也是 的开集。
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事实上这些性质这就是拓扑空间定义的动机。
开集是拓扑空间定义的基石;也就是从任意母集合 出发,再选取 的特定的子集族 ,规定 中的集合就是开集,这样的子集族 被叫做 上的拓扑:
根据上一节赋距空间的性质,取 为所有 的开集所构成的子集族,则 也是一拓扑空间。
- 度量空间中,以点为中心,为半径的球体为开集,任意的开集包含以为中心,充分小的为半径的球体。
- 流形中的开集为子流形。
开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性与收敛此类概念,比如度量空间和一致空间)时,都会用到开集的概念。
拓扑空间的每个子集都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做的内部。它可以通过取包含在中的所有开集的并集来构造。
给定拓扑空间和以及函数,如果在中的所有开集的前像是在中的开集,则是连续的,这是实函数上的连续定义的推广,时这与实函数的连续定义等价。如果在中的所有开集的像是中的开集,映射被叫做开映射。
实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。