最小方差无偏估计

统计学上， 最小方差无偏估计（MVUE，minimum-variance unbiased estimator）是一个对于所有无偏估计中，拥有最小方差的无偏估计。若无论真实参数值θ是多少，最小方差无偏估计（MVUE）都比其他不偏估计有更小或至多相等的方差，则称此估计为一致最小方差无偏估计（UMVUE，Uniformly Minimum-Variance Unbiased Estimator）。

若 $\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ 为参数函数 $g(\theta )$ 的一个无偏估计，且对于参数函数 $g(\theta )$ 的任一无偏估计 ${\tilde {\delta }}$ 恒有下列关系　

$\forall \theta \in \Omega$，$\mathrm {var} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))\leq \mathrm {var} ({\tilde {\delta }}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))$

则称 $\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ 为参数函数 $g(\theta )$ 的一致最小方差无偏估计（UMVUE）。

若参数函数 $g(\theta )$ 存在无偏估计，则可证明出一致最小方差无偏估计存在且唯一。

一般地，设 $\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ 是参数函数 $g(\theta )$ 的无偏估计且统计量 $T$ 是分布族的完备充分统计量，则

$\eta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=\mathrm {E} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})|T)\,$

是参数函数 $g(\theta )$ 的一致最小方差无偏估计（UMVUE）。

参考资料

• Keener, Robert W. Statistical Theory: Notes for a Course in Theoretical Statistics. Springer. 2006: 47–48, 57–58.