最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括:
- 确定起点的最短路径问题 - 也叫单源最短路问题,即已知起始结点,求最短路径的问题。在边权非负时适合使用Dijkstra算法,若边权为负时则适合使用Bellman-ford算法或者SPFA算法。
- 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同,在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
- 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径。
- 全局最短路径问题 - 也叫多源最短路问题,求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”,有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有:
权值要求
|
时间复杂度
|
作者
|
ℝ+
|
|
Dijkstra 1959
|
ℝ+
|
|
Johnson 1977 (二叉堆)
|
ℝ+
|
|
Fredman & Tarjan 1984 (斐波那契堆)
|
ℕ
|
|
Thorup 1999 (要求常数时间复杂度的乘法)。
|
算法
|
时间复杂度
|
作者
|
广度优先搜索
|
|
Konrad Zuse 1945,Moore 1959
|
使用拓扑排序算法可以在有权值的DAG中以线性时间()求解单源最短路径问题。
假设边缘权重均为整数。
算法
|
时间复杂度
|
作者
|
|
O(V 2EL)
|
Ford 1956
|
Bellman–Ford 算法
|
O(VE)
|
Shimbel 1955, Bellman 1958, Moore 1959
|
|
O(V 2 log V)
|
Dantzig 1960
|
Dijkstra's 算法(列表)
|
O(V 2)
|
Leyzorek et al. 1957, Dijkstra 1959, Minty (see Pollack & Wiebenson 1960), Whiting & Hillier 1960
|
Dijkstra's 算法(二叉堆)
|
O((E + V) log V)
|
Johnson 1977
|
……
|
……
|
……
|
Dijkstra's 算法(斐波那契堆)
|
O(E + V log V)
|
Fredman & Tarjan 1984, Fredman & Tarjan 1987
|
|
O(E log log L)
|
Johnson 1981, Karlsson & Poblete 1983
|
Gabow's 算法
|
O(E logE/V L)
|
Gabow 1983, Gabow 1985
|
|
|
Ahuja et al. 1990
|
Thorup
|
O(E + V log log V)
|
Thorup 2004
|