正规态射

在范畴论中，正规态射是一类可以自然地分解成单射与满射的态射。使所有态射皆为正规态射的范畴称为正规范畴。

定义

设${\mathcal {C}}$为一个有有限射影极限与归纳极限的范畴。设$f:X\to Y$为态射。设$p_{1},p_{2}:\;X\times _{Y}X\to X$为积的投影，而$i_{1},i_{2}:\;Y\to Y\sqcup _{X}Y$为上积的内射。定义：

• 上像：$\mathrm {Coim} (f):=\mathrm {Coker} (p_{1},p_{2})$
• 像：$\mathrm {Im} (f):=\mathrm {Ker} (i_{1},i_{2})$

根据极限性质，自然态射$X\to \mathrm {Coim} (f)$是满射，而$\mathrm {Im} (f)\to Y$则是单射。此外还存在唯一一个态射$u:\;\mathrm {Coim} (f)\to \mathrm {Im} (f)$，使得合成态射

$X\longrightarrow \mathrm {Coim} (f){\stackrel {u}{\longrightarrow }}\mathrm {Im} (f)\longrightarrow Y$

正好是$f$。

若$u$为同构，则称$f$为正规态射；正规态射可以写成满射与单射的合成。所有态射皆为正规态射的范畴称为正规范畴。

性质

• 以下三个条件等价：
  • $f$为严格满射
  • $\mathrm {Coim} (f)\to Y$为同构
  • 序列$X\times _{Y}X\Rightarrow X\rightarrow Y$正合
• 如果$f$同时是严格满射与严格单射，则$f$为同构。
• $X\to \mathrm {Coim} (f)$恒为严格满射。

例子

正规态射的重要特性在于它分解为满射与单射，此分解在阿贝尔范畴中扮演关键角色。

对于集合范畴、群范畴以及一个环上的模范畴，严格性并不成问题。一旦引入额外结构，状况将大大地复杂化：例如取${\mathcal {C}}$为拓扑向量空间范畴，${\mathcal {C}}$中存在所有有限的积与上积。${\mathcal {C}}$中的态射$f:X\to Y$即连续线性映射，其像$\mathrm {Im} (f)$是空间$f(X)$配与$Y$的子空间拓扑，上像$\mathrm {Coim} (f)$则是$f(X)$配与$f:X\to f(X)$的商拓扑；后者一般较前者为细。

文献

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部链接

• Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira