热带几何

热带几何是数学的一支，首先由巴西数学家兼计算机科学家伊姆雷·西蒙于1980年代发展；“热带”一词源于部份法国数学家对巴西的刻板印象。大略言之，热带几何可谓是分片线性化的代数几何。它在计数代数几何中有重要的应用。

基本定义

定义热带半环（又称极小-加法代数，见下述定义）为 $(\mathbf {R} \cup \{\infty \},\oplus ,\otimes )$ ，其运算为：

x\oplus y=\min\{\,x,y\,\},\,

x\otimes y=x+y.\,

此半环中的单项式不外就是线性映射；而多项式是对若干个线性映射取极小值，因此是个分片线性凹函数。称之为热带多项式。一个热带多项式 $F$ 的非光滑点集合称为热带超曲面。可以证明：

上述两种刻划提供了组合学与代数学之间的对应。给定一个合适的代数问题，我们可将之转化为较易处理的组合问题以求解。

一如代数几何中的情形，热带超曲面的定义可以推广到热带簇：取 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 中的理想 $I$ ，定义相应的热带簇 $V(I)$ 为 $I$ 的变形体。可以证明 $V(I)=\bigcap _{f\in I}V(f)$ ，而且可取有限并集。

目前已有较深入研究的是平面上的热带几何。许多代数几何中的古典定理皆有相应的版本。