牛奶冻曲线

牛奶冻曲线（blancmange curve）又称为高木曲线，因为在1901年由高木贞治所研究。另外也称为 Takagi-Landsberg 曲线，一种更一般化的曲线，以高木贞治和 Georg Landsberg 的名字命名。牛奶冻曲线也是 de Rham 曲线的特例。

定义

定义域为单位区间的牛奶冻函数定义为

b(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},

其中 ${\textstyle s}$ 是三角波函数，定义为 $s(x)=\min _{n\in \mathbb {N} }\left|x-n\right|$ 。

而 Takagi–Landsberg 曲线的定义是更一般化的：

T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x),

其中 $w$ 是一个变数使 $|w|<1$ 。

以 $w$ （ $|w|<1$ ）为参数无限和 $T_{w}(x)$ 对所有 $x$ 绝对收敛：因为对所有 $x\in \mathbb {R}$ 有 $0\leq s(x)\leq 1/2$ ，从而

\sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}

。

以 $w$ 为参数的 $T_{w}(x)$ 也是连续的。因为可以如下证明 ${\textstyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$ 均匀收敛到 $T_{w}$ ：

\left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}

对所有

x\in \mathbb {R}

。

其值在 $n$ 够大时可以任意的小。再根据均匀极限定理（英语：Uniform limit theorem）， $T_{w}$ 连续。

$T_{w}$ 具有次可加性。

当 ${\textstyle w={\frac {1}{4}}}$ ， $T_{w}$ 的图形是抛物线，且用中点细分的构造方法曾被阿基米德描述。

对所有 $0<w<1/2$ ， $T_{w}$ 在任意不是二进分数的 $x\in \mathbb {R}$ 是可微的，且其结果是

T_{w}'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(-1)^{x_{-n-1}},

其中 $(x_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ 是 $x$ 的二进位表达式的序列，也就是满足 ${\textstyle x=\sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}x_{n}}$ 的序列。